Пусть H — точка пересечения высот треугольникаABC,H₁,H₂и H₃ — точки, симметричные точке Hотносительно сторонBC,CAи AB. Точки H₁,H₂и H₃лежат на описанной окружности треугольникаABC(задача 5.9). Пусть l -- прямая, проходящая через точку H. Прямая, симметричная прямой lотносительно стороныBC(соответственноCAи AB), пересекает описанную окружность в точке H₁(соответственно H₂и H₃) и в некоторой точке P₁(соответственно P₂и P₃). Рассмотрим какую-нибудь другую прямую l', проходящую через H. Пусть $\varphi$ — угол между lи l'. Построим для прямой l'точки P₁',P₂' и P₃' тем же способом, каким были построены для прямой lточки P₁,P₂и P₃. Тогда$\angle$P_iH_iP_i' =$\varphi$, т. е. величина дугиP_iP_i' равна 2$\varphi$(поворот от P_iи P_i' противоположен по направлению повороту от lи l'). Поэтому точки P₁',P₂' и P₃' являются образами точек P₁,P₂и P₃при некотором повороте. Ясно, что если в качестве l'выбрать высоту треугольника, опущенную из вершины A, тоP₁' =P₂' =P₃' =A, а значит,P₁=P₂=P₃.

Ответ задачи отсутствует