Согласно задаче 5.50прямая, делящая пополам площадь и периметр треугольника, проходит через центр его вписанной окружности. Ясно также, что если прямая проходит через центр вписанной окружности треугольника и делит его периметр пополам, то она делит пополам и его площадь. Поэтому нужно провести прямую, проходящую через центр вписанной окружности треугольника и делящую его периметр пополам. Предположим, что мы построили точки Mи Nна сторонахABи ACтреугольникаABCтак, что прямаяMNпроходит через центр Oвписанной окружности и делит периметр треугольника пополам. Построим на лучеACточку Dтак, чтоAD=p, где p — полупериметр треугольникаABC. ТогдаAM=ND. Пусть Q — центр поворота R, переводящего отрезокAMв отрезокDN(точку A — в D, точку M — в N). Так как угол между прямымиAMи CNизвестен, точку Qможно построить: она является вершиной равнобедренного треугольникаAQD, причем$\angle$AQD= 180^o-$\angle$Aи точки Bи Qлежат по одну сторону от прямойAD. При повороте RотрезокOMпереходит в отрезокO'N. Точку O'мы можем построить. Ясно, что$\angle$ONO'=$\angle$A, поскольку угол между прямымиOMи O'Nравен $\angle$A. Поэтому точка Nявляется точкой пересечения прямойACи дуги окружности, из которой отрезокOO'виден под углом $\angle$A. Построив точку N, проводим прямуюONи находим точку M. Легко проверить, что если построенные точки Mи Nлежат на сторонахABи AC, тоMN — искомая прямая. Основной момент в доказательстве — доказательство того, что при повороте относительно точки Qна180^o-$\angle$Aточка Mпереходит в точку N. Для доказательства этого факта надо воспользоваться тем, что$\angle$ONO'=$\angle$A, т. е. при этом повороте прямаяOMпереходит в прямуюO'N.

Ответ задачи отсутствует