Предположим, чтоk-угольникиC₁...C_kи D₁...D_kправильные одинаково ориентированные. Пусть Cи D — центры этихk-угольников,c_i=$\overrightarrow{CC_i}$и d_i=$\overrightarrow{DD_i}$. Тогда$\overrightarrow{C_iD_i}$=$\overrightarrow{C_iC}$+$\overrightarrow{CD}$+$\overrightarrow{DD_i}$= -c_i+$\overrightarrow{CD}$+d_i. Вектор$\overrightarrow{C_iD_i}$переходит в вектор$\overrightarrow{C_iB_i}$при повороте R^{$\scriptstyle \varphi$}, где $\varphi$ — угол при вершине правильногоn-угольника. Поэтому$\overrightarrow{XB_i}$=$\overrightarrow{XC}$+c_i+$\overrightarrow{C_iB_i}$=$\overrightarrow{XC}$+c_i+R^{$\scriptstyle \varphi$}(-c_i+$\overrightarrow{CD}$+d_i). Точку Xподберем так, что$\overrightarrow{XC}$+R^{$\scriptstyle \varphi$}($\overrightarrow{CD}$) =$\overrightarrow{0}$. Тогда$\overrightarrow{XB_i}$=c_i+R^{$\scriptstyle \varphi$}(d_i-c_i) =R^{i$\scriptstyle \psi$}u, гдеu=c_k+R^{$\scriptstyle \varphi$}(d_k-c_k),R^{$\scriptstyle \psi$} — поворот, переводящий вектор c_kв c₁. Следовательно,B₁...B_k — правильныйk-угольник с центром X. Аналогично доказывается, чтоA₁...A_k — правильныйk-угольник. Обратное утверждение доказывается аналогично.

Ответ задачи отсутствует