Олимпиадные задачи из источника «глава 1. Подобные треугольники» - сложность 1 с решениями
глава 1. Подобные треугольники
НазадВ треугольнике <i>ABC</i> проведены высоты <i>BB</i><sub>1</sub> и <i>CC</i><sub>1</sub>. Докажите, что
а) касательная в точке <i>A</i> к описанной окружности параллельна прямой <i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>;
б) <i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> ⊥ <i>OA</i>, где <i>O</i> – центр описанной окружности.
Пусть <i>AA</i><sub>1</sub> и <i>BB</i><sub>1</sub> – высоты треугольника <i>ABC</i>. Докажите, что треугольники <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i> и <i>ABC</i> подобны. Чему равен коэффициент подобия?
На боковых сторонах <i>AB</i>и<i>CD</i>трапеции <i>ABCD</i>взяты точки<i>M</i>и<i>N</i>так, что отрезок<i>MN</i>параллелен основаниям и делит площадь трапеции пополам. Найдите длину <i>MN</i>, если<i>BC</i>=<i>a</i>и<i>AD</i>=<i>b</i>.
На стороне <i>AC</i>треугольника <i>ABC</i>взята точка <i>E</i>. Через точку <i>E</i>проведены прямая <i>DE</i>параллельно стороне <i>BC</i>и прямая <i>EF</i>параллельно стороне <i>AB</i>(<i>D</i>и<i>E</i> — точки соответственно на этих сторонах). Докажите, что<i>S</i><sub>BDEF</sub>= 2$\sqrt{S_{ADE}\cdot S_{EFC}}$.
Концы отрезков <i>AB</i> и <i>CD</i> перемещаются по сторонам данного угла, причем прямые <i>AB</i> и <i>CD</i> перемещаются параллельно; <i>M</i> – точка пересечения отрезков <i>AB</i> и <i>CD</i>. Докажите, что величина <img width="59" height="35" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/56481/problem_56481_img_2.gif"> остается постоянной.
На высотах <i>BB</i><sub>1</sub> и <i>CC</i><sub>1</sub> треугольника <i>ABC</i> взяты точки <i>B</i><sub>2</sub> и <i>C</i><sub>2</sub> так, что ∠<i>AB</i><sub>2</sub><i>C</i> = ∠<i>AC</i><sub>2</sub><i>B</i> = 90°. Докажите, что <i>AB</i><sub>2</sub> = <i>AC</i><sub>2</sub>.
Прямая, проходящая через вершину <i>A</i> квадрата <i>ABCD</i>, пересекает сторону <i>CD</i> в точке <i>E</i> и прямую <i>BC</i> в точке <i>F</i>. Докажите, что <sup>1</sup>/<sub><i>AE</i><sup>2</sup></sub> + <sup>1</sup>/<sub><i>AF</i><sup>2</sup></sub> = <sup>1</sup>/<sub><i>AB</i><sup>2</sup></sub>.
Длины двух сторон треугольника равны <i>a</i>, а длина третьей стороны равна <i>b</i>. Вычислите радиус его описанной окружности.
а) В треугольнике <i>ABC</i> проведена биссектриса <i>BD</i> внутреннего или внешнего угла. Докажите, что <i>AD</i> : <i>DC = AB</i> : <i>BC</i>. б) Докажите, что центр <i>O</i> вписанной окружности треугольника <i>ABC</i> делит биссектрису <i>AA</i><sub>1</sub> в отношении <i>AO</i> : <i>OA</i><sub>1</sub> = (<i>b + c</i>) : <i>a</i>, где <i>a, b, c</i> – длины сторон треугольника.
Докажите, что середины сторон произвольного четырёхугольника – вершины параллелограмма.
Для каких четырёхугольников этот параллелограмм является прямоугольником, для каких – ромбом, для каких – квадратом?
В прямоугольном треугольнике <i>ABC</i> с прямым углом <i>C</i> проведена высота <i>CH</i>. Докажите, что <i>AC</i>² = <i>AB·AH</i> и <i>CH</i>² = <i>AH·BH</i>.
В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> проведены высоты <i>AA</i><sub>1</sub> и <i>BB</i><sub>1</sub>. Докажите, что <i>A</i><sub>1</sub><i>C·BC = B</i><sub>1</sub><i>C·AC</i>.