Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Отношение площадей подобных треугольников»
параграф 3. Отношение площадей подобных треугольников
НазадТочка <i>O</i>, лежащая внутри выпуклого четырёхугольника площади <i>S</i>, отражается симметрично относительно середин его сторон.
Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в полученных точках.
а) Докажите, что площадь четырехугольника, образованного серединами сторон выпуклого четырехугольника <i>ABCD</i>, равна половине площади <i>ABCD</i>. б) Докажите, что если диагонали выпуклого четырехугольника равны, то его площадь равна произведению длин отрезков, соединяющих середины противоположных сторон.
Докажите, что площадь треугольника, стороны которого равны медианам треугольника площади<i>S</i>, равна 3<i>S</i>/4.
На боковых сторонах <i>AB</i>и<i>CD</i>трапеции <i>ABCD</i>взяты точки<i>M</i>и<i>N</i>так, что отрезок<i>MN</i>параллелен основаниям и делит площадь трапеции пополам. Найдите длину <i>MN</i>, если<i>BC</i>=<i>a</i>и<i>AD</i>=<i>b</i>.
На стороне <i>AC</i>треугольника <i>ABC</i>взята точка <i>E</i>. Через точку <i>E</i>проведены прямая <i>DE</i>параллельно стороне <i>BC</i>и прямая <i>EF</i>параллельно стороне <i>AB</i>(<i>D</i>и<i>E</i> — точки соответственно на этих сторонах). Докажите, что<i>S</i><sub>BDEF</sub>= 2$\sqrt{S_{ADE}\cdot S_{EFC}}$.
Через некоторую точку, взятую внутри треугольника, проведены три прямые, параллельные сторонам. Эти прямые разбивают треугольник на шесть частей, три из которых – треугольники с площадями <i>S</i><sub>1</sub>, <i>S</i><sub>2</sub>, <i>S</i><sub>3</sub>. Найдите площадь <i>S</i> данного треугольника.