Олимпиадные задачи из источника «глава 1. Подобные треугольники» - сложность 2 с решениями

Точка <i>P</i> лежит внутри треугольника <i>ABC</i>, причём   ∠<i>ABP</i> = ∠<i>ACP</i>.  На прямых <i>AB</i> и <i>AC</i> взяты такие точки <i>C</i>₁ и <i>B</i>₁, что  <i>BC</i>₁ : <i>CB</i>₁ = <i>CP</i> : <i>BP</i>.  Докажите, что одна из диагоналей параллелограмма, две стороны которого лежат на прямых <i>BP</i> и <i>CP</i>, а две другие стороны (или их продолжения) проходят через <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁, параллельна <i>BC</i>.

Три прямые, параллельные сторонам треугольника, пересекаются в одной точке, причем стороны треугольника высекают на этих прямых отрезки длиной <i>x</i>. Найдите <i>x</i>, если длины сторон треугольника равны <i>a, b</i> и <i>c</i>.

Три прямые, параллельные сторонам данного треугольника, отсекают от него три треугольника, причём остается равносторонний шестиугольник.

Найдите длину стороны шестиугольника, если длины сторон треугольника равны <i>a, b</i> и <i>c</i>.

На диагонали <i>AC</i> параллелограмма <i>ABCD</i> взяты точки <i>P</i> и <i>Q</i> так, что  <i>AP = CQ</i>.  Точка <i>M</i> такова, что  <i>PM || AD</i>  и  <i>QM || AB</i>.

Докажите, что точка <i>M</i> лежит на диагонали <i>BD</i>.

На сторонах <i>AD</i> и <i>CD</i> параллелограмма <i>ABCD</i> взяты точки <i>M</i> и <i>N</i> так, что  <i>MN || AC</i>.  Докажите, что  <i>S_ABM = S_CBN</i>.

В треугольнике <i>ABC</i> проведены биссектриса <i>AD</i> и средняя линия <i>A</i>₁<i>C</i>₁. Прямые <i>AD</i> и <i>A</i>₁<i>C</i>₁ пересекаются в точке <i>K</i>. Докажите, что  2<i>A</i>₁<i>K = |b – c</i>|.

На прямой <i>l</i> даны точки <i>A, B, C</i> и <i>D</i>. Через точки <i>A</i> и <i>B</i>, а также через точки <i>C</i> и <i>D</i> проводятся параллельные прямые.

Докажите, что диагонали полученных таким образом параллелограммов (или их продолжения) пересекают прямую <i>l</i> в двух фиксированных точках.

Докажите, что если  ∠<i>BAC</i> = 2∠<i>ABC</i>,  то   <i>BC</i>² = (<i>AC + AB</i>)·<i>AC</i>.

Точки <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ симметричны центру описанной окружности треугольника <i>ABC</i> относительно его сторон.

Докажите, что треугольники <i>ABC</i> и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁ равны.

Сторона квадрата равна 1. Через его центр проведена прямая. Вычислите сумму квадратов расстояний от четырёх вершин квадрата до этой прямой.

Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Докажите, что произведение длин оснований трапеции равно сумме произведений длин отрезков одной диагонали и длин отрезков другой диагонали, на которые они делятся точкой пересечения.

Основание равнобедренного треугольника составляет четверть его периметра. Из произвольной точки основания проведены прямые, параллельные боковым сторонам. Во сколько раз периметр треугольника больше периметра отсечённого параллелограмма?

В равнобедренном треугольнике <i>ABC</i>из середины <i>H</i>основания <i>BC</i>опущен перпендикуляр <i>HE</i>на боковую сторону <i>AC</i>;<i>O</i> — середина отрезка <i>HE</i>. Докажите, что прямые <i>AO</i>и<i>BE</i>перпендикулярны.

Дан треугольник <i>ABC</i>. Постройте две прямые<i>x</i>и<i>y</i>так, чтобы для любой точки <i>M</i>на стороне <i>AC</i>сумма длин отрезков <i>MX</i>_Mи<i>MY</i>_M, проведенных из точки <i>M</i>параллельно прямым<i>x</i>и<i>y</i>до пересечения со сторонами <i>AB</i>и<i>BC</i>треугольника, равнялась 1.

Пусть <i>p</i> – полупериметр остроугольного треугольника <i>ABC</i>, <i>q</i> – полупериметр треугольника, образованного основаниями его высот.

Докажите, что  <i>p</i> : <i>q = R</i> : <i>r</i>,  где <i>R</i> и <i>r</i> – радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника <i>ABC</i>.

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> проведены высоты <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁. Докажите, что если  <i>A</i>₁<i>B</i>₁ || <i>AB</i>  и  <i>B</i>₁<i>C</i>₁ || <i>BC</i>,  то  <i>A</i>₁<i>C</i>₁ || <i>AC</i>.

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> проведены высоты <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁.

Докажите, что точка, симметричная <i>A</i>₁ относительно прямой <i>AC</i>, лежит на прямой <i>B</i>₁<i>C</i>₁.

Из вершины <i>C</i> остроугольного треугольника <i>ABC</i> опущена высота <i>CH</i>, а из точки <i>H</i> опущены перпендикуляры <i>HM</i> и <i>HN</i> на стороны <i>BC</i> и <i>AC</i> соответственно. Докажите, что треугольники <i>MNC</i> и <i>ABC</i> подобны.

На сторонах треугольника <i>ABC</i> как на основаниях построены подобные равнобедренные треугольники <i>AB</i>₁<i>С</i> и <i>AC</i>₁<i>B</i> внешним образом и <i>BA</i>₁<i>C</i> внутренним образом. Докажите, что <i>AB</i>₁<i>A</i>₁<i>C</i>₁ – параллелограмм.

На сторонах параллелограмма внешним образом построены квадраты. Докажите, что их центры образуют квадрат.

На сторонах <i>BC</i> и <i>CD</i> параллелограмма <i>ABCD</i> построены внешним образом правильные треугольники <i>BCK</i> и <i>DCL</i>.

Докажите, что треугольник <i>AKL</i> правильный.

Через вершину <i>A</i> квадрата <i>ABCD</i> проведены прямые <i>l</i>₁ и <i>l</i>₂, пересекающие его стороны. Из точек <i>B</i> и <i>D</i> опущены перпендикуляры <i>BB</i>₁, <i>BB</i>₂, <i>DD</i>₁ и <i>DD</i>₂ на эти прямые. Докажите, что отрезки <i>B</i>₁<i>B</i>₂ и <i>D</i>₁<i>D</i>₂ равны и перпендикулярны.

Точка <i>K</i> – середина стороны <i>AB</i> квадрата <i>ABCD</i>, а точка <i>L</i> делит диагональ <i>AC</i> в отношении  <i>AL</i> : <i>LC</i> = 3 : 1.  Докажите, что угол <i>KLD</i> прямой.

Точка <i>O</i>, лежащая внутри выпуклого четырёхугольника площади <i>S</i>, отражается симметрично относительно середин его сторон.

Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в полученных точках.

а) Докажите, что площадь четырехугольника, образованного серединами сторон выпуклого четырехугольника <i>ABCD</i>, равна половине площади <i>ABCD</i>. б) Докажите, что если диагонали выпуклого четырехугольника равны, то его площадь равна произведению длин отрезков, соединяющих середины противоположных сторон.