Олимпиадные задачи из источника «глава 1. Подобные треугольники» для 8 класса

Точка <i>P</i> лежит внутри треугольника <i>ABC</i>, причём   ∠<i>ABP</i> = ∠<i>ACP</i>.  На прямых <i>AB</i> и <i>AC</i> взяты такие точки <i>C</i>₁ и <i>B</i>₁, что  <i>BC</i>₁ : <i>CB</i>₁ = <i>CP</i> : <i>BP</i>.  Докажите, что одна из диагоналей параллелограмма, две стороны которого лежат на прямых <i>BP</i> и <i>CP</i>, а две другие стороны (или их продолжения) проходят через <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁, параллельна <i>BC</i>.

Три прямые, параллельные сторонам треугольника, пересекаются в одной точке, причем стороны треугольника высекают на этих прямых отрезки длиной <i>x</i>. Найдите <i>x</i>, если длины сторон треугольника равны <i>a, b</i> и <i>c</i>.

Три прямые, параллельные сторонам данного треугольника, отсекают от него три треугольника, причём остается равносторонний шестиугольник.

Найдите длину стороны шестиугольника, если длины сторон треугольника равны <i>a, b</i> и <i>c</i>.

Продолжения боковых сторон трапеции с основаниями <i>AD</i> и <i>BC</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Концы отрезка <i>EF</i>, параллельного основаниям и проходящего через точку пересечения диагоналей, лежат соответственно на сторонах <i>AB</i> и <i>CD</i>. Докажите, что  <i>AE</i> : <i>CF = AO</i> : <i>CO</i>.

На диагонали <i>AC</i> параллелограмма <i>ABCD</i> взяты точки <i>P</i> и <i>Q</i> так, что  <i>AP = CQ</i>.  Точка <i>M</i> такова, что  <i>PM || AD</i>  и  <i>QM || AB</i>.

Докажите, что точка <i>M</i> лежит на диагонали <i>BD</i>.

На сторонах <i>AD</i> и <i>CD</i> параллелограмма <i>ABCD</i> взяты точки <i>M</i> и <i>N</i> так, что  <i>MN || AC</i>.  Докажите, что  <i>S_ABM = S_CBN</i>.

В треугольнике <i>ABC</i> проведены биссектриса <i>AD</i> и средняя линия <i>A</i>₁<i>C</i>₁. Прямые <i>AD</i> и <i>A</i>₁<i>C</i>₁ пересекаются в точке <i>K</i>. Докажите, что  2<i>A</i>₁<i>K = |b – c</i>|.

На прямой <i>l</i> даны точки <i>A, B, C</i> и <i>D</i>. Через точки <i>A</i> и <i>B</i>, а также через точки <i>C</i> и <i>D</i> проводятся параллельные прямые.

Докажите, что диагонали полученных таким образом параллелограммов (или их продолжения) пересекают прямую <i>l</i> в двух фиксированных точках.

Докажите, что если  ∠<i>BAC</i> = 2∠<i>ABC</i>,  то   <i>BC</i>² = (<i>AC + AB</i>)·<i>AC</i>.

Точки <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ симметричны центру описанной окружности треугольника <i>ABC</i> относительно его сторон.

Докажите, что треугольники <i>ABC</i> и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁ равны.

Сторона квадрата равна 1. Через его центр проведена прямая. Вычислите сумму квадратов расстояний от четырёх вершин квадрата до этой прямой.

Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Докажите, что произведение длин оснований трапеции равно сумме произведений длин отрезков одной диагонали и длин отрезков другой диагонали, на которые они делятся точкой пересечения.

Основание равнобедренного треугольника составляет четверть его периметра. Из произвольной точки основания проведены прямые, параллельные боковым сторонам. Во сколько раз периметр треугольника больше периметра отсечённого параллелограмма?

Пусть <i>p</i> – полупериметр остроугольного треугольника <i>ABC</i>, <i>q</i> – полупериметр треугольника, образованного основаниями его высот.

Докажите, что  <i>p</i> : <i>q = R</i> : <i>r</i>,  где <i>R</i> и <i>r</i> – радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника <i>ABC</i>.

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> проведены высоты <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁. Докажите, что если  <i>A</i>₁<i>B</i>₁ || <i>AB</i>  и  <i>B</i>₁<i>C</i>₁ || <i>BC</i>,  то  <i>A</i>₁<i>C</i>₁ || <i>AC</i>.

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> проведены высоты <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁.

Докажите, что точка, симметричная <i>A</i>₁ относительно прямой <i>AC</i>, лежит на прямой <i>B</i>₁<i>C</i>₁.

а) Докажите, что высоты <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁ остроугольного треугольника <i>ABC</i> делят углы треугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁ пополам.

б) На сторонах <i>AB, BC</i> и <i>CA</i> остроугольного треугольника <i>ABC</i> взяты точки <i>C</i>₁, <i>A</i>₁ и <i>B</i>₁ соответственно.

Докажите, что если  ∠<i>B</i>₁<i>A</i>₁<i>C</i> =...

В треугольнике <i>ABC</i> проведены высоты <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁. Докажите, что

  а) касательная в точке <i>A</i> к описанной окружности параллельна прямой <i>B</i>₁<i>C</i>₁;

  б)  <i>B</i>₁<i>C</i>₁ ⊥ <i>OA</i>,  где <i>O</i> – центр описанной окружности.

Из вершины <i>C</i> остроугольного треугольника <i>ABC</i> опущена высота <i>CH</i>, а из точки <i>H</i> опущены перпендикуляры <i>HM</i> и <i>HN</i> на стороны <i>BC</i> и <i>AC</i> соответственно. Докажите, что треугольники <i>MNC</i> и <i>ABC</i> подобны.

Пусть <i>AA</i>₁ и <i>BB</i>₁ – высоты треугольника <i>ABC</i>. Докажите, что треугольники <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i> и <i>ABC</i> подобны. Чему равен коэффициент подобия?

На сторонах выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i> внешним образом построены подобные ромбы, причём их острые углы α прилегают к вершинам <i>A</i> и <i>C</i>. Докажите, что отрезки, соединяющие центры противоположных ромбов, равны, а угол между ними равен α.

На неравных сторонах<i>AB</i>и<i>AC</i>треугольника<i>ABC</i>внешним образом построены равнобедренные треугольники<i>AC</i>₁<i>B</i>и<i>AB</i>₁<i>C</i>с углом φ при вершине.   а)<i>M</i>– точка медианы<i>AA</i>₁(или её продолжения), равноудаленная от точек<i>B</i>₁и<i>C</i>₁. Докажите, что  ∠<i>B</i>₁<i>MC</i>₁= φ.   б)<i>O</i>– точка серединного перпендикуляра к отрезку<i>BC</i>, равноудаленная от точек<i>B</i>₁и<i&g...

а) На сторонах<i>AB</i>и<i>AC</i>треугольника<i>ABC</i>внешним образом построены прямоугольные треугольники<i>ABC</i>₁и<i>AB</i>₁<i>C</i>, причём  ∠<i>C</i>₁= ∠<i>B</i>₁= 90°, ∠<i>ABC</i>₁= ∠<i>ACB</i>₁= φ, <i>M</i>– середина<i>BC</i>. Докажите, что  <i>MB</i>₁=<i>MC</i>₁и  ∠<i>B</i>₁<i>MC</i>₁= 2φ.б) На сторонах треугольника <i>ABC</i> внешним образом построены п...

На сторонах треугольника <i>ABC</i> как на основаниях построены подобные равнобедренные треугольники <i>AB</i>₁<i>С</i> и <i>AC</i>₁<i>B</i> внешним образом и <i>BA</i>₁<i>C</i> внутренним образом. Докажите, что <i>AB</i>₁<i>A</i>₁<i>C</i>₁ – параллелограмм.

На сторонах произвольного треугольника <i>ABC</i> внешним образом построены равнобедренные треугольники с углами 2α, 2β и 2γ при вершинах <i>A', B'</i> и <i>C'</i>, причём  α + β + γ = 180°.  Докажите, что углы треугольника <i>A'B'C'</i> равны α, β и γ.