Олимпиадные задачи из источника «параграф 5. Треугольник, образованный основаниями высот»

Пусть <i>p</i> – полупериметр остроугольного треугольника <i>ABC</i>, <i>q</i> – полупериметр треугольника, образованного основаниями его высот.

Докажите, что  <i>p</i> : <i>q = R</i> : <i>r</i>,  где <i>R</i> и <i>r</i> – радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника <i>ABC</i>.

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> проведены высоты <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁. Докажите, что если  <i>A</i>₁<i>B</i>₁ || <i>AB</i>  и  <i>B</i>₁<i>C</i>₁ || <i>BC</i>,  то  <i>A</i>₁<i>C</i>₁ || <i>AC</i>.

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> проведены высоты <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁.

Докажите, что точка, симметричная <i>A</i>₁ относительно прямой <i>AC</i>, лежит на прямой <i>B</i>₁<i>C</i>₁.

а) Докажите, что высоты <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁ остроугольного треугольника <i>ABC</i> делят углы треугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁ пополам.

б) На сторонах <i>AB, BC</i> и <i>CA</i> остроугольного треугольника <i>ABC</i> взяты точки <i>C</i>₁, <i>A</i>₁ и <i>B</i>₁ соответственно.

Докажите, что если  ∠<i>B</i>₁<i>A</i>₁<i>C</i> =...

В треугольнике <i>ABC</i> проведены высоты <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁. Докажите, что

  а) касательная в точке <i>A</i> к описанной окружности параллельна прямой <i>B</i>₁<i>C</i>₁;

  б)  <i>B</i>₁<i>C</i>₁ ⊥ <i>OA</i>,  где <i>O</i> – центр описанной окружности.

Из вершины <i>C</i> остроугольного треугольника <i>ABC</i> опущена высота <i>CH</i>, а из точки <i>H</i> опущены перпендикуляры <i>HM</i> и <i>HN</i> на стороны <i>BC</i> и <i>AC</i> соответственно. Докажите, что треугольники <i>MNC</i> и <i>ABC</i> подобны.

Пусть <i>AA</i>₁ и <i>BB</i>₁ – высоты треугольника <i>ABC</i>. Докажите, что треугольники <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i> и <i>ABC</i> подобны. Чему равен коэффициент подобия?

На сторонах остроугольного треугольника <i>ABC</i> взяты точки <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ так, что отрезки <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁, <i>CC</i>₁ пересекаются в точке <i>H</i>.

Докажите, что  <i>AH·A</i>₁<i>H = BH·B</i>₁<i>H = CH·C</i>₁<i>H</i>  тогда и только тогда, когда <i>H</i> – точка пересечения высот треугольника <i>ABC</i>.