Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Отношение сторон подобных треугольников»
параграф 2. Отношение сторон подобных треугольников
НазадНа отрезке <i>MN</i> построены подобные, одинаково ориентированные треугольники <i>AMN, NBM</i> и <i>MNC</i> (см. рис.).
Докажите, что треугольник <i>ABC</i> подобен всем этим треугольникам, а центр его описанной окружности равноудален от точек <i>M</i> и <i>N</i>. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/56487/problem_56487_img_2.gif"></div>
Докажите, что если <i>a</i><sub>1</sub> = <i>a</i><sub>2</sub> и <i>b</i><sub>1</sub> = <i>b</i><sub>2</sub> (см. рис.), то <i>x = y</i>. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/56486/problem_56486_img_2.gif"></div>
Точка <i>O</i> – центр вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>. На сторонах <i>AC</i> и <i>BC</i> выбраны точки <i>M</i> и <i>K</i> соответственно так, что <i>BK·AB = BO</i>² и
<i>AM·AB = AO</i>². Докажите, что точки <i>M, O</i> и <i>K</i> лежат на одной прямой.
На биссектрисе угла с вершиной <i>C</i> взята точка <i>P</i>. Прямая, проходящая через точку <i>P</i>, высекает на сторонах угла отрезки длиной <i>a</i> и <i>b</i>.
Докажите, что величина <sup>1</sup>/<sub><i>a</i></sub> + <sup>1</sup>/<sub><i>b</i></sub> не зависит от выбора этой прямой.
Через произвольную точку <i>P</i> стороны <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> параллельно его медианам <i>AK</i> и <i>CL</i> проведены прямые, пересекающие стороны <i>BC</i> и <i>AB</i> в точках <i>E</i> и <i>F</i> соответственно. Докажите, что медианы <i>AK</i> и <i>CL</i> делят отрезок <i>EF</i> на три равные части.
Концы отрезков <i>AB</i> и <i>CD</i> перемещаются по сторонам данного угла, причем прямые <i>AB</i> и <i>CD</i> перемещаются параллельно; <i>M</i> – точка пересечения отрезков <i>AB</i> и <i>CD</i>. Докажите, что величина <img width="59" height="35" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/56481/problem_56481_img_2.gif"> остается постоянной.
Углы треугольника <i>ABC</i> связаны соотношением 3α + 2β = 180°. Докажите, что <i>a</i>² + <i>bc = c</i>².
Пусть <i>AC</i> – большая из диагоналей параллелограмма <i>ABCD</i>. Из точки <i>C</i> на продолжения сторон <i>AB</i> и <i>AD</i> опущены перпендикуляры <i>CE</i> и <i>CF</i> соответственно. Докажите, что <i>AB·AE + AD·AF = AC</i>².
Прямая <i>l</i> пересекает стороны <i>AB</i> и <i>AD</i> и диагональ <i>AC</i> параллелограмма <i>ABCD</i> в точках <i>E, F</i> и <i>G</i> соответственно. Докажите, что <sup><i>AB</i></sup>/<i><sub>AE</sub> + <sup>AD</sup></i>/<i><sub>AF</sub> = <sup>AC</sup></i>/<sub><i>AG</i></sub>.
На стороны <i>BC</i> и <i>CD</i> параллелограмма <i>ABCD</i> (или на их продолжения) опущены перпендикуляры <i>AM</i> и <i>AN</i>.
Докажите, что треугольники <i>MAN</i> и <i>ABC</i> подобны.
В трапецию <i>ABCD</i> (<i>BC || AD</i>) вписана окружность, касающаяся боковых сторон <i>AB</i> и <i>CD</i> в точках <i>K</i> и <i>L</i> соответственно, а оснований <i>AD</i> и <i>BC</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i>.
а) Пусть <i>Q</i> – точка пересечения отрезков <i>BM</i> и <i>AN</i>. Докажите, что <i>KQ || AD</i>.
б) Докажите, что <i>AK·KB = CL·LD</i>.
На высотах <i>BB</i><sub>1</sub> и <i>CC</i><sub>1</sub> треугольника <i>ABC</i> взяты точки <i>B</i><sub>2</sub> и <i>C</i><sub>2</sub> так, что ∠<i>AB</i><sub>2</sub><i>C</i> = ∠<i>AC</i><sub>2</sub><i>B</i> = 90°. Докажите, что <i>AB</i><sub>2</sub> = <i>AC</i><sub>2</sub>.
Прямая, проходящая через вершину <i>A</i> квадрата <i>ABCD</i>, пересекает сторону <i>CD</i> в точке <i>E</i> и прямую <i>BC</i> в точке <i>F</i>. Докажите, что <sup>1</sup>/<sub><i>AE</i><sup>2</sup></sub> + <sup>1</sup>/<sub><i>AF</i><sup>2</sup></sub> = <sup>1</sup>/<sub><i>AB</i><sup>2</sup></sub>.
Длины двух сторон треугольника равны <i>a</i>, а длина третьей стороны равна <i>b</i>. Вычислите радиус его описанной окружности.
а) В треугольнике <i>ABC</i> проведена биссектриса <i>BD</i> внутреннего или внешнего угла. Докажите, что <i>AD</i> : <i>DC = AB</i> : <i>BC</i>. б) Докажите, что центр <i>O</i> вписанной окружности треугольника <i>ABC</i> делит биссектрису <i>AA</i><sub>1</sub> в отношении <i>AO</i> : <i>OA</i><sub>1</sub> = (<i>b + c</i>) : <i>a</i>, где <i>a, b, c</i> – длины сторон треугольника.
Отрезок <i>BE</i> разбивает треугольник <i>ABC</i> на два подобных треугольника, причём коэффициент подобия равен <img align="absMIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/53869/problem_53869_img_2.png"> Найдите углы треугольника <i>ABC</i>.
На стороне <i>BC</i> равностороннего треугольника <i>ABC</i> как на диаметре внешним образом построена полуокружность, на которой взяты точки <i>K</i> и <i>L</i>, делящие полуокружность на три равные дуги. Докажите, что прямые <i>AK</i> и <i>AL</i> делят отрезок <i>BC</i> на равные части.