Олимпиадные задачи из источника «Вводные задачи»

На стороне <i>BC</i> треугольника <i>ABC</i> взята точка <i>A</i>₁ так, что  <i>BA</i>₁ : <i>A</i>₁<i>C</i> = 2 : 1.  В каком отношении медиана <i>CC</i>₁ делит отрезок <i>AA</i>₁?

Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении  2 : 1,  считая от вершины.

В прямоугольном треугольнике <i>ABC</i> с прямым углом <i>C</i> проведена высота  <i>CH</i>. Докажите, что  <i>AC</i>² = <i>AB·AH</i>  и  <i>CH</i>² = <i>AH·BH</i>.

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> проведены высоты <i>AA</i>₁ и <i>BB</i>₁. Докажите, что  <i>A</i>₁<i>C·BC = B</i>₁<i>C·AC</i>.

В треугольник с основанием <i>a</i> и высотой <i>h</i> вписан квадрат так, что две его вершины лежат на основании треугольника, а две другие – на боковых сторонах.

Найдите сторону квадрата.