Олимпиадные задачи из источника «глава 1. Подобные треугольники» - сложность 3 с решениями

Продолжения боковых сторон трапеции с основаниями <i>AD</i> и <i>BC</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Концы отрезка <i>EF</i>, параллельного основаниям и проходящего через точку пересечения диагоналей, лежат соответственно на сторонах <i>AB</i> и <i>CD</i>. Докажите, что  <i>AE</i> : <i>CF = AO</i> : <i>CO</i>.

На отрезке <i>AC</i>взята точка <i>B</i>и на отрезках <i>AB</i>,<i>BC</i>,<i>CA</i>построены полуокружности<i>S</i>₁,<i>S</i>₂,<i>S</i>₃по одну сторону от<i>AC</i>.<i>D</i> — такая точка на<i>S</i>₃, что<i>BD</i>$\perp$<i>AC</i>. Общая касательная к<i>S</i>₁и<i>S</i>₂, касается этих полуокружностей в точках<i>F</i>и<i>E</i>соответственно. а) Докажите, что прямая <i>EF</i>параллельна касательной к<i>S</i>₃, п...

Докажите, что проекции основания высоты треугольника на стороны, ее заключающие, и на две другие высоты лежат на одной прямой.

а) Докажите, что высоты <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁ остроугольного треугольника <i>ABC</i> делят углы треугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁ пополам.

б) На сторонах <i>AB, BC</i> и <i>CA</i> остроугольного треугольника <i>ABC</i> взяты точки <i>C</i>₁, <i>A</i>₁ и <i>B</i>₁ соответственно.

Докажите, что если  ∠<i>B</i>₁<i>A</i>₁<i>C</i> =...

На сторонах выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i> внешним образом построены подобные ромбы, причём их острые углы α прилегают к вершинам <i>A</i> и <i>C</i>. Докажите, что отрезки, соединяющие центры противоположных ромбов, равны, а угол между ними равен α.

На неравных сторонах<i>AB</i>и<i>AC</i>треугольника<i>ABC</i>внешним образом построены равнобедренные треугольники<i>AC</i>₁<i>B</i>и<i>AB</i>₁<i>C</i>с углом φ при вершине.   а)<i>M</i>– точка медианы<i>AA</i>₁(или её продолжения), равноудаленная от точек<i>B</i>₁и<i>C</i>₁. Докажите, что  ∠<i>B</i>₁<i>MC</i>₁= φ.   б)<i>O</i>– точка серединного перпендикуляра к отрезку<i>BC</i>, равноудаленная от точек<i>B</i>₁и<i&g...

а) На сторонах<i>AB</i>и<i>AC</i>треугольника<i>ABC</i>внешним образом построены прямоугольные треугольники<i>ABC</i>₁и<i>AB</i>₁<i>C</i>, причём  ∠<i>C</i>₁= ∠<i>B</i>₁= 90°, ∠<i>ABC</i>₁= ∠<i>ACB</i>₁= φ, <i>M</i>– середина<i>BC</i>. Докажите, что  <i>MB</i>₁=<i>MC</i>₁и  ∠<i>B</i>₁<i>MC</i>₁= 2φ.б) На сторонах треугольника <i>ABC</i> внешним образом построены п...

На сторонах произвольного треугольника <i>ABC</i> внешним образом построены равнобедренные треугольники с углами 2α, 2β и 2γ при вершинах <i>A', B'</i> и <i>C'</i>, причём  α + β + γ = 180°.  Докажите, что углы треугольника <i>A'B'C'</i> равны α, β и γ.

Шестиугольник <i>ABCDEF</i> вписан в окружность радиуса <i>R</i> с центром <i>O</i>, причём  <i>AB = CD = EF = R</i>.  Докажите, что точки попарного пересечения описанных окружностей треугольников <i>BOC, DOE</i> и <i>FOA</i>, отличные от точки <i>O</i>, являются вершинами правильного треугольника со стороной <i>R</i>.

На сторонах <i>AB, BC, CD</i> и <i>DA</i> вписанного четырёхугольника <i>ABCD</i>, длины которых равны <i>a, b, c</i> и <i>d</i>, внешним образом построены прямоугольники размером <i>a</i>×<i>с, b</i>×<i>d, с</i>×<i>a</i> и <i>d</i>×<i>b</i>. Докажите, что их центры являются вершинами прямоугольника.

На катетах <i>CA</i> и <i>CB</i> равнобедренного прямоугольного треугольника <i>ABC</i> выбраны точки <i>D</i> и <i>E</i> так, что  <i>CD = CE</i>.  Продолжения перпендикуляров, опущенных из точек <i>D</i> и <i>C</i> на прямую <i>AE</i>, пересекают гипотенузу <i>AB</i> в точках <i>K</i> и <i>L</i>. Докажите, что  <i>KL = LB</i>.

На отрезке <i>MN</i> построены подобные, одинаково ориентированные треугольники <i>AMN, NBM</i> и <i>MNC</i> (см. рис.).

Докажите, что треугольник <i>ABC</i> подобен всем этим треугольникам, а центр его описанной окружности равноудален от точек <i>M</i> и <i>N</i>. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/56487/problem_56487_img_2.gif"></div>

На сторонах <i>AB, BC, CD</i> и <i>DA</i> выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i> взяты соответственно точки <i>P, Q, R</i> и <i>S</i>б  O – точка пересечения отрезков <i>PR</i> и <i>QS</i>.

Докажите,что если  <i>AP</i> : <i>AB = DR</i> : <i>DC</i>  и  <i>AS</i> : <i>AD = BQ</i> : <i>BC</i>,  то и  <i>SO</i> : <i>SQ = AP</i> : <i>AB</i>,  <i>PQ</i> : <i>PR = AS</i> : ;<i>AD</i>.

На продолжениях оснований <i>AD</i> и <i>BC</i> трапеции <i>ABCD</i> за точки <i>A</i> и <i>C</i> взяты точки <i>K</i> и <i>L</i>. Отрезок <i>KL</i> пересекает стороны <i>AB</i> и <i>CD</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i>, а диагонали <i>AC</i> и <i>BD</i> в точках <i>O</i> и <i>P</i>. Докажите, что если  <i>KM = NL</i>,  то  <i>KO = PL</i>.

На сторонах остроугольного треугольника <i>ABC</i> взяты точки <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ так, что отрезки <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁, <i>CC</i>₁ пересекаются в точке <i>H</i>.

Докажите, что  <i>AH·A</i>₁<i>H = BH·B</i>₁<i>H = CH·C</i>₁<i>H</i>  тогда и только тогда, когда <i>H</i> – точка пересечения высот треугольника <i>ABC</i>.

Сторона <i>AD</i> прямоугольника <i>ABCD</i> в три раза больше стороны <i>AB</i>. Точки <i>M</i> и <i>N</i> делят <i>AD</i> на три равные части. Найдите  ∠<i>AMB</i> + ∠<i>ANB</i> + ∠<i>ADB</i>.