Олимпиадные задачи из источника «2014-2015» - сложность 3 с решениями

Неравнобедренный треугольник <i>ABC</i> вписан в окружность ω. Касательная к этой окружности в точке <i>C</i> пересекает прямую <i>AB</i> в точке <i>D</i>. Пусть <i>I</i> – центр вписанной окружности, треугольника <i>ABC</i>. Прямые <i>AI</i> и <i>BI</i> пересекают биссектрису угла <i>CDB</i> в точках <i>Q</i> и <i>P</i> соответственно. Пусть <i>M</i> – середина отрезка <i>PQ</i>. Докажите, что прямая <i>MI</i> проходит через середину дуги <i>ACB</i> окружности ω.

Действительные числа <i>a, b, c, d</i>, по модулю большие единицы, удовлетворяют соотношению   <i>abc + abd + acd + bcd + a + b + c + d</i> = 0.

Докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65255/problem_65255_img_2.gif">

Дано натуральное число  <i>n</i> > 3.  Назовём набор из <i>n</i> точек на координатной плоскости <i>допустимым</i>, если их абсциссы различны, и каждая из этих точек окрашена либо в красный, либо в синий цвет. Будем говорить, что многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) <i>разделяет</i> допустимый набор точек, если либо выше графика <i>P</i>(<i>x</i>) нет красных точек, а ниже – нет синих, либо наоборот (на самом графике могут лежать точки обоих цветов). При каком наименьшем <i>k</i> любой допустимый набор из <i>n</i> точек можно разделить многочленом степени не более <i>k</i>?

Поле представляет собой клетчатый квадрат 41×41, в одной из клеток которого замаскирован танк. Истребитель за один выстрел обстреливает одну клетку. Если произошло попадание, танк переползает на соседнюю по стороне клетку поля, если нет – остаётся на месте. При этом после выстрела пилот истребителя не знает, произошло ли попадание. Для уничтожения танка надо попасть в него два раза. Каким наименьшим числом выстрелов можно обойтись для того, чтобы гарантировать, что танк уничтожен?

Пусть  <i>n</i> > 1  – натуральное число. Выпишем дроби  ¹/_<i>n</i>, ²/_<i>n</i>, ..., ^<i>n</i>–1/_<i>n</i>  и приведём каждую к несократимому виду; сумму числителей полученных дробей обозначим через  <i>f</i>(<i>n</i>). При каких натуральных  <i>n</i> > 1  числа  <i>f</i>(<i>n</i>) и  <i>f</i>(2015<i>n</i>) имеют разную чётность?

В остроугольном неравнобедренном треугольнике <i>ABC </i>проведены медиана <i>AM</i> и высота <i>AH</i>. На прямых <i>AB</i> и <i>AC</i> отмечены точки <i>Q</i> и <i>P</i> соответственно так, что  <i>QM</i> ⊥ <i>AC</i>  и  <i>PM</i> ⊥ <i>AB</i>.  Описанная окружность треугольника <i>PMQ</i> пересекает прямую <i>BC</i> вторично в точке <i>X</i>. Докажите, что  <i>BH = CX</i>.

На соревнованиях по фигурному велосипедированию было 100 судей. Каждый судья упорядочил всех участников (от лучшего по его мнению – к худшему). Оказалось, что ни для каких трёх участников <i>A, B, C</i> не нашлось трёх судей, один из которых считает, что <i>A</i> – лучший из трёх, а <i>B</i> – худший, другой – что <i>B</i> лучший, а <i>C</i> худший, а третий – что <i>C</i> лучший, а <i>A</i> худший. Докажите, что можно составить общий рейтинг участников так, чтобы для каждых двух участников <i>A</i> и <i>B</i> тот, кто выше в рейтинге, был бы лучше другого по мнению хотя бы половины судей.

Дан параллелограмм <i>ABCD</i>, в котором  <i>AB < AC < BC</i>.  Точки <i>E</i> и <i>F</i> выбраны на описанной окружности ω треугольника <i>ABC</i> так, что касательные к ω в этих точках проходят через точку <i>D</i>; при этом отрезки <i>AD</i> и <i>CE</i> пересекаются. Оказалось, что  ∠<i>ABF</i> = ∠<i>DCE</i>.  Найдите угол <i>ABC</i>.

Остроугольный треугольник <i>ABC</i>  (<i>AB < AC</i>)  вписан в окружность Ω. Пусть <i>M</i> – точка пересечения его медиан, а <i>AH</i> – высота. Луч <i>MH</i> пересекает Ω в точке <i>A'</i>. Докажите, что описанная окружность треугольника <i>A'HB</i> касается прямой <i>AB</i>.

В волейбольном турнире участвовали 110 команд, каждая сыграла с каждой из остальных ровно одну игру (в волейболе не бывает ничьих). Оказалось, что в любой группе из 55 команд найдётся одна, которая проиграла не более чем четырём из остальных 54 команд этой группы. Докажите, что во всём турнире найдётся команда, проигравшая не более чем четырём из остальных 109 команд.

Натуральные числа <i>a, x</i> и <i>y</i>, большие 100, таковы, что  <i>y</i>² – 1 = <i>a</i>²(<i>x</i>² – 1). Какое наименьшее значение может принимать дробь ^<i>a</i>/_<i>x</i>?

Параллелограмм <i>ABCD</i> таков, что  ∠<i>B</i> < 90°  и  <i>AB < BC</i>.  Точки <i>E</i> и <i>F</i> выбраны на описанной окружности ω треугольника <i>ABC</i> так, что касательные к ω в этих точках проходят через точку <i>D</i>. Оказалось, что  ∠<i>EDA</i> = ∠<i>FDC</i>.  Найдите угол <i>ABC</i>.

По кругу расставлено 300 положительных чисел. Могло ли случиться так, что каждое из этих чисел, кроме одного, равно разности своих соседей?

Есть полусферическая ваза, закрытая плоской крышкой. В вазе лежат четыре одинаковых апельсина, касаясь вазы, и один грейпфрут, касающийся всех четырёх апельсинов. Верно ли, что все четыре точки касания грейпфрута с апельсинами обязательно лежат в одной плоскости? (Все фрукты являются шарами.)

Продолжения медиан <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁ треугольника <i>ABC</i> пересекают его описанную окружность в точках <i>A</i>₀, <i>B</i>₀ и <i>C</i>₀ соответственно. Оказалось, что площади треугольников <i>ABC</i>₀, <i>AB</i>₀<i>C</i> и <i>A</i>₀<i>BC</i> равны. Докажите, что треугольник <i>ABC</i> равносторонний.

Петя хочет выписать все возможные последовательности из 100 натуральных чисел, в каждой из которых хотя бы раз встречается число 4 или 5, а любые два соседних члена различаются не больше, чем на 2. Сколько последовательностей ему придётся выписать?

Дано натуральное число  <i>n</i> ≥ 2.  Рассмотрим все такие покраски клеток доски <i>n</i>×<i>n</i> в <i>k</i> цветов, что каждая клетка покрашена ровно в один цвет и все <i>k</i> цветов встречаются. При каком наименьшем <i>k</i> в любой такой покраске найдутся четыре окрашенных в четыре разных цвета клетки, расположенные в пересечении двух строк и двух столбцов?

Коэффициенты <i>a, b, c</i> квадратного трёхчлена  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>ax</i>² + <i>bx + c</i>  – натуральные числа, сумма которых равна 2000. Паша может изменить любой коэффициент на 1, заплатив 1 рубль. Докажите, что он может получить квадратный трёхчлен, имеющий хотя бы один целый корень, заплатив не более 1050 рублей.

Положительные числа <i>a, b, c</i> удовлетворяют соотношению  <i>ab + bc + ca</i> = 1.  Докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65122/problem_65122_img_2.gif">

Пусть <i>AL</i> – биссектриса треугольника <i>ABC</i>. Серединный перпендикуляр к отрезку<i>AL</i> пересекает описанную окружность Ω треугольника <i>ABC</i>, в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Докажите, что описанная окружность треугольника <i>PLQ</i>, касается стороны <i>BC</i>.

Петя хочет выписать все возможные последовательности из 100 натуральных чисел, в каждой из которых хотя бы раз встречается тройка, а любые два соседних члена различаются не больше, чем на 1. Сколько последовательностей ему придётся выписать?

Числа <i>a, b, c</i> и <i>d</i> таковы, что  <i>a</i>² + <i>b</i>² + <i>c</i>² + <i>d</i>² = 4.  Докажите, что  (2 + <i>a</i>)(2 + <i>b</i>) ≥ <i>cd</i>.

В неравнобедренном треугольнике <i>ABC</i> провели биссектрисы угла <i>ABC</i> и угла, смежного с ним. Они пересекли прямую <i>AC</i> в точках <i>B</i>₁ и <i>B</i>₂ соответственно. Из точек <i>B</i>₁ и <i>B</i>₂ провели касательные к окружности ω, вписанной в треугольник <i>ABC</i>, отличные от прямой <i>AC</i>. Они касаются ω в точках <i>K</i>₁ и <i>K</i>₂ соответственно. Докажите, что точки <i>B</i>, <i>K</i>₁ и <i>K</i>₂ лежат на одной прям...

Правильный треугольник со стороной 3 разбит на девять треугольных клеток, как показано на рисунке. В этих клетках изначально записаны нули. За один ход можно выбрать два числа, находящиеся в соседних по стороне клетках, и либо прибавить к обоим по единице, либо вычесть из обоих по единице. Петя хочет сделать несколько ходов так, чтобы после этого в клетках оказались записаны в некотором порядке последовательные натуральные числа  <i>n, n</i> + 1, ..., <i>n</i> + 8.  При каких <i>n</i> он сможет это сделать? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65113/problem_65113_img_2.gif"></div>