Олимпиадные задачи из источника «Региональный этап»

По кругу расставлено 300 положительных чисел. Могло ли случиться так, что каждое из этих чисел, кроме одного, равно разности своих соседей?

Есть полусферическая ваза, закрытая плоской крышкой. В вазе лежат четыре одинаковых апельсина, касаясь вазы, и один грейпфрут, касающийся всех четырёх апельсинов. Верно ли, что все четыре точки касания грейпфрута с апельсинами обязательно лежат в одной плоскости? (Все фрукты являются шарами.)

Квадратный трёхчлен  <i>f</i>(<i>x</i>) имеет два различных корня. Оказалось, что для любых чисел <i>a</i> и <i>b</i> верно неравенство  <i>f</i>(<i>a</i>² + <i>b</i>²) ≥ <i>f</i>(2<i>ab</i>).

Докажите, что хотя бы один из корней этого трёхчлена – отрицательный.

Продолжения медиан <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁ треугольника <i>ABC</i> пересекают его описанную окружность в точках <i>A</i>₀, <i>B</i>₀ и <i>C</i>₀ соответственно. Оказалось, что площади треугольников <i>ABC</i>₀, <i>AB</i>₀<i>C</i> и <i>A</i>₀<i>BC</i> равны. Докажите, что треугольник <i>ABC</i> равносторонний.

На новогодний вечер пришли несколько супружеских пар, у каждой из которых было от 1 до 10 детей. Дед Мороз выбирал одного ребёнка, одну маму и одного папу из трёх разных семей и катал их в санях. Оказалось, что у него было ровно 3630 способов выбрать нужную тройку людей. Сколько всего могло быть детей на этом вечере?

Петя хочет выписать все возможные последовательности из 100 натуральных чисел, в каждой из которых хотя бы раз встречается число 4 или 5, а любые два соседних члена различаются не больше, чем на 2. Сколько последовательностей ему придётся выписать?

Дано натуральное число  <i>n</i> ≥ 2.  Рассмотрим все такие покраски клеток доски <i>n</i>×<i>n</i> в <i>k</i> цветов, что каждая клетка покрашена ровно в один цвет и все <i>k</i> цветов встречаются. При каком наименьшем <i>k</i> в любой такой покраске найдутся четыре окрашенных в четыре разных цвета клетки, расположенные в пересечении двух строк и двух столбцов?

Коэффициенты <i>a, b, c</i> квадратного трёхчлена  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>ax</i>² + <i>bx + c</i>  – натуральные числа, сумма которых равна 2000. Паша может изменить любой коэффициент на 1, заплатив 1 рубль. Докажите, что он может получить квадратный трёхчлен, имеющий хотя бы один целый корень, заплатив не более 1050 рублей.

Положительные числа <i>a, b, c</i> удовлетворяют соотношению  <i>ab + bc + ca</i> = 1.  Докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65122/problem_65122_img_2.gif">

Пусть <i>AL</i> – биссектриса треугольника <i>ABC</i>. Серединный перпендикуляр к отрезку<i>AL</i> пересекает описанную окружность Ω треугольника <i>ABC</i>, в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Докажите, что описанная окружность треугольника <i>PLQ</i>, касается стороны <i>BC</i>.

На плоскости отметили все вершины правильного <i>n</i>-угольника, а также его центр. Затем нарисовали контур этого <i>n</i>-угольника, и центр соединили со всеми вершинами; в итоге <i>n</i>-угольник разбился на <i>n</i> треугольников. Вася записал в каждую отмеченную точку по числу (среди чисел могут быть равные). В каждый треугольник разбиения он записал в произвольном порядке три числа, стоящих в его вершинах; после этого он стёр числа в отмеченных точках. При каких <i>n</i> по тройкам чисел, записанным в треугольниках, Петя всегда сможет восстановить число в каждой отмеченной точке?

Целые числа <i>a, x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x</i>₁₃ таковы, что  <i>a</i> = (1 + <i>x</i>₁)(1 + <i>x</i>₂)...(1 + <i>x</i>₁₃) = (1 – <i>x</i>₁)(1 – <i>x</i>₂)...(1 – <i>x</i>₁₃).  Докажите, что  <i>ax</i>₁<i>x</i>₂...<i>x</i>₁₃ = 0.

Петя хочет выписать все возможные последовательности из 100 натуральных чисел, в каждой из которых хотя бы раз встречается тройка, а любые два соседних члена различаются не больше, чем на 1. Сколько последовательностей ему придётся выписать?

Числа <i>a, b, c</i> и <i>d</i> таковы, что  <i>a</i>² + <i>b</i>² + <i>c</i>² + <i>d</i>² = 4.  Докажите, что  (2 + <i>a</i>)(2 + <i>b</i>) ≥ <i>cd</i>.

Дан прямоугольный треугольник <i>ABC</i> с прямым углом <i>C</i>. Пусть <i>BK</i> – биссектриса этого треугольника. Описанная окружность треугольника <i>AKB</i> пересекает вторично сторону <i>BC</i> в точке <i>L</i>. Докажите, что  <i>CB + CL = AB</i>.

После просмотра фильма зрители по очереди оценивали фильм целым числом баллов от 0 до 10. В каждый момент времени рейтинг фильма вычислялся как сумма всех выставленных оценок, делённая на их количество. В некоторый момент времени <i>T</i> рейтинг оказался целым числом, а затем с каждым новым проголосовавшим зрителем он уменьшался на единицу. Какое наибольшее количество зрителей могло проголосовать после момента <i>T</i>?

В неравнобедренном треугольнике <i>ABC</i> провели биссектрисы угла <i>ABC</i> и угла, смежного с ним. Они пересекли прямую <i>AC</i> в точках <i>B</i>₁ и <i>B</i>₂ соответственно. Из точек <i>B</i>₁ и <i>B</i>₂ провели касательные к окружности ω, вписанной в треугольник <i>ABC</i>, отличные от прямой <i>AC</i>. Они касаются ω в точках <i>K</i>₁ и <i>K</i>₂ соответственно. Докажите, что точки <i>B</i>, <i>K</i>₁ и <i>K</i>₂ лежат на одной прям...

Правильный треугольник со стороной 3 разбит на девять треугольных клеток, как показано на рисунке. В этих клетках изначально записаны нули. За один ход можно выбрать два числа, находящиеся в соседних по стороне клетках, и либо прибавить к обоим по единице, либо вычесть из обоих по единице. Петя хочет сделать несколько ходов так, чтобы после этого в клетках оказались записаны в некотором порядке последовательные натуральные числа  <i>n, n</i> + 1, ..., <i>n</i> + 8.  При каких <i>n</i> он сможет это сделать? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65113/problem_65113_img_2.gif"></div>

Назовём натуральное число <i>интересным</i>, если сумма его цифр – простое число.

Какое наибольшее количество интересных чисел может быть среди пяти подряд идущих натуральных чисел?

За круглым столом сидят 2015 человек, каждый из них – либо рыцарь, либо лжец. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. Им раздали по одной карточке, на каждой карточке написано по числу; при этом все числа на карточках различны. Посмотрев на карточки соседей, каждый из сидящих за столом сказал: "Мое число больше, чем у каждого из двух моих соседей". После этого <i>k</i> из сидящих сказали: "Мое число меньше, чем у каждого из двух моих соседей". При каком наибольшем <i>k</i> это могло случиться?