Лемма. Пусть  k ≥ 55,  и пусть среди любых k команд найдётся одна, которая проиграла не более чем четырём из остальных  k – 1  команд. Тогда и среди любых  k + 1  команд найдётся одна, которая проиграла не более чем четырём из остальных k команд.

  Доказательство. Предположив противное, рассмотрим набор из  k + 1  команд  M = {C₁, C₂, ..., C_k+1},  для которых требуемой команды не найдётся. Для каждого  i = 1, 2, ..., k + 1,  если выкинуть из M команду C_i, то среди оставшихся найдётся команда C_j, проигравшая не более чем четырём из остальных. Поскольку C_j не является требуемой для всего набора M, она проиграла также команде C_i и, более того, проиграла ровно пяти командам из M. Назовём такую команду C_j подходящей для команды C_i.

  Рассмотрим все команды из M, являющиеся подходящими хотя бы для одной другой команды. Каждая из них является подходящей максимум для пяти из  k + 1 ≥ 56  команд; значит, число s подходящих команд не менее 12.

  Рассмотрим все игры между подходящими командами. Этих игр всего ½ s(s – 1),  и в каждой из них одна из команд проиграла. Значит, одна из подходящих команд проиграла не менее чем  ½ s(s – 1) : s = ½ (s – 1) ≥ 5,5,  то есть хотя бы шести командам. Но это невозможно.   Теперь покажем индукцией по  k = 55, 56, ..., 110,  что среди любых k команд найдётся одна, которая проиграла не более чем четырём из остальных  k – 1  команд. База при  k = 55  верна по условию, а шаг индукции доказан в лемме. Значит, это утверждение верно при  k = 110,  что и требовалось.

Ответ задачи отсутствует