Олимпиадные задачи по математике

Целые числа <i>a, b, c</i> таковы, что значения квадратных трёхчленов  <i>bx</i>² + <i>cx + a</i>  и  <i>cx</i>² + <i>ax + b</i>  при  <i>x</i> = 1234  совпадают.

Может ли первый трёхчлен при  <i>x</i> = 1  принимать значение 2009?

Число <i>N</i>, не делящееся на 81, представимо в виде суммы квадратов трёх целых чисел, делящихся на 3.

Докажите, что оно также представимо в виде суммы квадратов трёх целых чисел, не делящихся на 3.

Докажите, что если натуральное число <i>N</i> представляется в виде суммы трёх квадратов целых чисел, делящихся на 3, то оно также представляется в виде суммы трёх квадратов целых чисел, не делящихся на 3.

Положительные числа <i>a, b, c</i> удовлетворяют соотношению  <i>ab + bc + ca</i> = 1.  Докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65122/problem_65122_img_2.gif">