Задачи и олимпиады по математике

Задача

Дан параллелограмм ABCD, в котором AB < AC < BC. Точки E и F выбраны на описанной окружности ω треугольника ABC так, что касательные к ω в этих точках проходят через точку D; при этом отрезки AD и CE пересекаются. Оказалось, что ∠ABF = ∠DCE. Найдите угол ABC.

Решение

Так как D лежит вне ω, угол ABC острый. Пусть A' – вторая точка пересечения DC и ω. Поскольку BC > AC, имеем

∠DCA = ∠CAB > ∠CBA = ∠DA'A; значит, A' лежит на продолжении отрезка DC за точку C. Заметим, что

⌣ECA' = 2(180° – ∠ECA') = 2∠ECD = 2∠ABF = ⌣ACF.

Пустьl– биссектриса углаEDF. ПосколькуDEиDF– касательные, прямаяlпроходит через центрOокружности ω. Совершим симметрию относительноl; при этом ω перейдёт в себя. Так как ⌣ECA'= ⌣ACF, точкиAиA'при этой симметрии переходят друг в друга. Значит, ∠DAA'= ∠DA'A. С другой стороны, поскольку точкаA'лежит на ω, ∠AA'C= ∠ABC= ∠ADA'. Итак, все три угла треугольникаDAA'равны, откуда ∠ABC= ∠ADA'= 60°.

Ответ

60°.

Задача

Решение

Ответ

Подтверждение удаления