Пусть   n = 2^t·m,  где  t ≥ 0,  а число m нечётно. Докажем, что число  f(n) чётно ровно в двух случаях: либо n нечётно и m ≡ 1 (mod 4),  либо же n чётно и  m ≡ 3 (mod4 ).   Первый способ. Рассмотрим произвольную дробь ^k/_n. Если k делится на 2^t+1, то числитель этой дроби после сокращения будет чётен, в противном случае он будет нечётен. Среди чисел  1, 2, ..., n – 1  есть ровно ^m–1/₂ чисел, делящихся на 2^t+1. Значит, в сумме  f(n) имеется ровно  n – 1 – ^m–1/₂  нечётных слагаемых. Поэтому  f(n) чётно тогда и только тогда, когда числа  n – 1  и ^m–1/₂ имеют одинаковую чётность, что и требовалось.

  Второй способ. Пусть n нечётно (то есть  t = 0).  Тогда числитель дроби ^k/_n не меняет чётность после сокращения. Значит, количество нечётных числителей будет равно ^n–1/₂, и число  f(n) чётно ровно тогда, когда чётно число ^n–1/₂, то есть при  m ≡ 1 (mod 4).

  Пусть n чётно  (t > 0).  Среди дробей со знаменателем n есть дробь, равная ½ и вносящая в  f(n) слагаемое 1. Все остальные дроби разбиваются на пары вида   (^a/_n, ^n–a/_n).  Поскольку сумма дробей в паре равна 1, после сокращения они переходят в пары несократимых дробей с одинаковым знаменателем вида  (^b/_d, ^d–b/_d).  Вклад такой пары дробей в  f(n) равен d, и, если d чётно, он не влияет на чётность числа  f(n).

  Таким образом, чётность  f(n) противоположна чётности аналогичной суммы для дробей     то есть чётности числа  f(m) (при  m = 1  она противоположна чётности  f(1) = 0).  Отсюда и следует требуемое.   Осталось заметить, что числа n и 2015n имеют одну чётность; кроме того, при нечётном m числа m и 2015m дают разные остатки при делении на 4. Значит, числа  f(n) и  f(2015n) всегда имеют разную чётность.

При всех натуральных  n > 1.