Олимпиадные задачи по математике
Четырёхугольник <i>ABCD</i> вписан в окружность ω с центром <i>O, M</i><sub>1</sub> и <i>M</i><sub>2</sub> – середины сторон <i>AB</i> и <i>CD</i> соответственно; Ω – описанная окружность треугольника <i>OM</i><sub>1</sub><i>M</i><sub>2</sub>, <i>X</i><sub>1</sub> и <i>X</i><sub>2</sub> – точки пересечения ω с Ω, а <i>Y</i><sub>1</sub> и <i>Y</i><sub>2</sub> – вторые точки пересечения описанных окружностей ω<sub>1</sub> и ω<sub>2</sub> треугольников <i>CDM</i><sub>1</sub> и <i>ABM</i><sub>2</sub&g...
Пусть <i>M<sub>A</sub>, M<sub>B</sub>, M<sub>C</sub></i> – середины сторон неравнобедренного треугольника <i>ABC</i>, точки <i>H<sub>A</sub>, H<sub>B</sub>, H<sub>C</sub></i>, отличные от <i>M<sub>A</sub>, M<sub>B</sub>, M<sub>C</sub></i>, лежащие на соответствующих сторонах, таковы, что <i>M<sub>A</sub>H<sub>B</sub> = M<sub>A</sub>H<sub>C</sub>, M<sub>B</sub>H<sub>A</sub> = M<sub>B</sub>H<sub>C</sub>, M<sub>C</sub>H<sub>A</sub> = M<sub>C</sub>H<sub>B</sub></i>. Докажите, что <...
В треугольнике <i>ABC</i> медианы <i>AM<sub>A</sub>, BM<sub>B</sub></i> и <i>CM<sub>C</sub></i> пересекаются в точке <i>M</i>. Построим окружность Ω<sub><i>A</i></sub>, проходящую через середину отрезка <i>AM</i> и касающуюся отрезка <i>BC</i> в точке <i>MA</i>. Аналогично строятся окружности Ω<sub><i>B</i></sub> и Ω<sub><i>C</i></sub>. Докажите, что окружности Ω<sub><i>A</i></sub>, Ω<sub><i>B</i></sub> и Ω<sub><i>C</i></sub> имеют общую точку.
Прямая, проходящая через центр <i>I</i> вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>, перпендикулярна <i>AI</i> и пересекает стороны <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>C'</i> и <i>B'</i> соответственно. В треугольниках <i>BC'I</i> и <i>CB'I</i> провели высоты <i>C'C</i><sub>1</sub> и <i>B'B</i><sub>1</sub> соответственно. Докажите, что середина отрезка <i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> лежит на прямой, проходящей через точку <i>I</i> и перпендикулярной <i>BC</i>.
Дан фиксированный треугольник <i>ABC</i>. По его описанной окружности движется точка <i>P</i> так, что хорды <i>BC</i> и <i>AP</i> пересекаются. Прямая <i>AP</i> разрезает треугольник <i>BPC</i> на два меньших, центры вписанных окружностей которых обозначим через <i>I</i><sub>1</sub> и <i>I</i><sub>2</sub> соответственно. Прямая <i>I</i><sub>1</sub><i>I</i><sub>2</sub> пересекает прямую <i>BC</i> в точке <i>Z</i>. Докажите, что все прямые <i>ZP</i> проходят через фиксированную точку.
На сторонах <i>AB</i>, <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> взяли такие точки <i>C</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub> соответственно, что <i>BB</i><sub>1</sub> ⊥ <i>CC</i><sub>1</sub>. Точка <i>X</i> внутри треугольника такова, что
∠<i>XBC</i> = ∠<i>B</i><sub>1</sub><i>BA</i>, ∠<i>XCB</i> = ∠<i>C</i><sub>1</sub><i>CA</i>. Докажите, что ∠<i>B</i><sub>1</sub><i>XC</i><sub>1</sub> = 90° – ∠<i>A</i>.
Дан параллелограмм <i>ABCD</i>, в котором <i>AB < AC < BC</i>. Точки <i>E</i> и <i>F</i> выбраны на описанной окружности ω треугольника <i>ABC</i> так, что касательные к ω в этих точках проходят через точку <i>D</i>; при этом отрезки <i>AD</i> и <i>CE</i> пересекаются. Оказалось, что ∠<i>ABF</i> = ∠<i>DCE</i>. Найдите угол <i>ABC</i>.
Остроугольный треугольник <i>ABC</i> (<i>AB < AC</i>) вписан в окружность Ω. Пусть <i>M</i> – точка пересечения его медиан, а <i>AH</i> – высота. Луч <i>MH</i> пересекает Ω в точке <i>A'</i>. Докажите, что описанная окружность треугольника <i>A'HB</i> касается прямой <i>AB</i>.
Параллелограмм <i>ABCD</i> таков, что ∠<i>B</i> < 90° и <i>AB < BC</i>. Точки <i>E</i> и <i>F</i> выбраны на описанной окружности ω треугольника <i>ABC</i> так, что касательные к ω в этих точках проходят через точку <i>D</i>. Оказалось, что ∠<i>EDA</i> = ∠<i>FDC</i>. Найдите угол <i>ABC</i>.
В остроугольном неравнобедренном треугольнике <i>ABC</i> проведена высота <i>AH</i>. На сторонах <i>AC</i> и <i>AB</i> отмечены точки <i>B</i><sub>1</sub> и <i>C</i><sub>1</sub> соответственно, так, что <i>HA</i> – биссектриса угла <i>B</i><sub>1</sub><i>HC</i><sub>1</sub> и четырёхугольник <i>BC</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i> – вписанный. Докажите, что <i>B</i><sub>1</sub> и <i>C</i><sub>1</sub> – основания высот треугольника <i>ABC</i>.
В остроугольном треугольнике <i>ABC</i>, в котором ∠<i>A</i> = 45°, проведены высоты <i>AA</i><sub>1</sub>, <i>BB</i><sub>1</sub>, <i>CC</i><sub>1</sub>. Биссектриса угла <i>BAA</i><sub>1</sub> пересекает прямую <i>B</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>1</sub> в точке <i>D</i>, а биссектриса угла <i>CAA</i><sub>1</sub> пересекает прямую <i>C</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>1</sub> в точке <i>E</i>. Найдите угол между прямыми <i>BD</i> и <i>CE</i>.
Продолжения медиан <i>AA</i><sub>1</sub>, <i>BB</i><sub>1</sub> и <i>CC</i><sub>1</sub> треугольника <i>ABC</i> пересекают его описанную окружность в точках <i>A</i><sub>0</sub>, <i>B</i><sub>0</sub> и <i>C</i><sub>0</sub> соответственно. Оказалось, что площади треугольников <i>ABC</i><sub>0</sub>, <i>AB</i><sub>0</sub><i>C</i> и <i>A</i><sub>0</sub><i>BC</i> равны. Докажите, что треугольник <i>ABC</i> равносторонний.