Задача
Остроугольный треугольник ABC (AB < AC) вписан в окружность Ω. Пусть M – точка пересечения его медиан, а AH – высота. Луч MH пересекает Ω в точке A'. Докажите, что описанная окружность треугольника A'HB касается прямой AB.
Решение
Выберем на Ω точку D так, что AD || BC, тогда точки A и D симметричны относительно серединного перпендикуляра к BC. Пусть H' – проекция точки D на BC, а K – середина BC. Из симметрии K также является серединой отрезка HH'; кроме того, HH' = D.
Пусть X – точка пересечения отрезков AK и DH. Тогда треугольники ADX и KHX подобны, откуда AX : KX = AD : KH = 2. Значит, X – точка пересечения медиан треугольника ABC, то есть X = M. Итак, точки A', H, M и D лежат на одной прямой.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь