Олимпиадные задачи по математике

Дано натуральное число  <i>n</i> > 3.  Назовём набор из <i>n</i> точек на координатной плоскости <i>допустимым</i>, если их абсциссы различны, и каждая из этих точек окрашена либо в красный, либо в синий цвет. Будем говорить, что многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) <i>разделяет</i> допустимый набор точек, если либо выше графика <i>P</i>(<i>x</i>) нет красных точек, а ниже – нет синих, либо наоборот (на самом графике могут лежать точки обоих цветов). При каком наименьшем <i>k</i> любой допустимый набор из <i>n</i> точек можно разделить многочленом степени не более <i>k</i>?

Исходно на доске написаны многочлены  <i>x</i>³ – 3<i>x</i>² + 5  и  <i>x</i>² – 4<i>x</i>.  Если на доске уже написаны многочлены  <i>f</i>(<i>x</i>) и <i>g</i>(<i>x</i>), разрешается дописать на неё многочлены  <i>f</i>(<i>x</i>) ± <i>g</i>(<i>x</i>),  <i>f</i>(<i>x</i>)<i>g</i>(<i>x</i>),  <i>f</i>(<i>g</i>(<i>x</i>))  и  <i>cf</i>(<i>x</i>),  где <i>c</i> – произвольная (не обязательно целая) константа. Может ли на доске после нескольких операций появиться многочлен вида  <i>xⁿ</i> – 1  (при...