Построим граф, вершинами которого будут участники, и от A будет идти ориентированное ребро к B, если A лучше B по мнению хотя бы 51 судьи (в этом случае мы будем писать  A → B).  Таким образом, A и B не будут соединены ребром ровно тогда, когда каждый лучше другого по мнению ровно 50 судей.  Заметим, что если  A→B  и  B→C,  то  A→C.  Действительно, предположим противное:CлучшеAпо мнению хотя бы 50 судей. Мы знаем, чтоBлучшеAпо мнению не более 49 судей; значит, найдётся судья, который считает, чтоCлучшеA, аAлучшеB. Аналогично, найдётся судья, считающий, чтоBлучшеC, аCлучшеA, а также судья, считающий, чтоAлучшеB, аBлучшеC. Но это противоречит условию.   Докажем индукцией поn, что в ориентированном графе наnвершинах, для которого выполнено доказанное утверждение, можно пронумеровать вершины так, чтобы каждая стрелка шла от меньшего числа к большему. Для  n= 100  это эквивалентно утверждению задачи.  База (n= 2)  очевидна.  Шаг индукции. Достаточно доказать, что найдётся вершинаA, из которой не выходит ни одной стрелки. Тогда можно этой вершине присвоить номерn, выбросить её и перенумеровать остальные вершины по предположению индукции.   Предположим, что такой вершины нет. Тогда из каждой вершины выходит стрелка. Выйдем из любой вершины и будем двигаться по направлению стрелок. Рано или поздно мы попадём в вершину, в которой уже были; таким образом, в графе найдётся ориентированный цикл: A₁→A₂→ ... →A_k→A₁.  Но тогда, как доказано выше,  A₁→A₂→A₁.  Противоречие.

Ответ задачи отсутствует