Олимпиадные задачи по математике

Приведённый квадратный трёхчлен <i>P</i>(<i>x</i>) таков, что многочлены <i>P</i>(<i>x</i>) и <i>P</i>(<i>P</i>(<i>P</i>(<i>x</i>))) имеют общий корень. Докажите, что  <i>P</i>(0)<i>P</i>(1) = 0.

Даны положительные числа <i>x</i>, <i>y</i>, <i>z</i>. Докажите неравенство   <img align="middle" src="/storage/problem-media/116543/problem_116543_img_2.gif">

На доске написано натуральное число. Если на доске написано число <i>x</i>, то можно дописать на нее число  2<i>x</i> + 1  или ^<i>x</i>/_<i>x</i>+2. В какой-то момент выяснилось, что на доске присутствует число 2008. Докажите, что оно там было с самого начала.

Дан многочлен  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>a</i>₀<i>xⁿ + a</i>₁<i>x</i>^<i>n</i>–1 + ... + <i>a</i>_<i>n</i>–1<i>x + a_n</i>.  Положим  <i>m</i> = min {<i>a</i>₀, <i>a</i>₀ + <i>a</i>₁, ..., <i>a</i>₀ + <i>a</i>₁ + ... + <i>a_n</i>}.

Докажите, что  <i>P</i>(<i>x</i>) ≥ <i>mxⁿ</i>...

Известно, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110215/problem_110215_img_2.gif">   и  <i>x</i>₁ + <i>x</i>₂ + ... + <i>x</i>₆ = 0.  Докажите, что <i>x</i>₁<i>x</i>₂...<i>x</i>₆ ≤ ½.

Докажите, что для каждого<i> x </i>такого, что<i> sin x<img src="/storage/problem-media/110210/problem_110210_img_2.gif"> </i>0, найдется такое натуральное<i> n </i>, что<i> | sin nx| <img src="/storage/problem-media/110210/problem_110210_img_3.gif"> <img src="/storage/problem-media/110210/problem_110210_img_4.gif"> </i>.

В коммерческом турнире по футболу участвовало пять команд. Каждая должна была сыграть с каждой из остальных ровно один матч. В связи с финансовыми трудностями организаторы некоторые игры отменили. В итоге оказалось, что все команды набрали различное число очков и ни одна команда в графе набранных очков не имеет нуля. Какое наименьшее число игр могло быть сыграно в турнире, если за победу начислялось три очка, за ничью – одно, за поражение – ноль?

Докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110180/problem_110180_img_2.gif">   для  <i>x</i> > 0  и натурального <i>n</i>.

Существует ли такое натуральное число, что произведение всех его натуральных делителей (включая 1 и само число) оканчивается ровно на 2001 ноль?

Даны целые числа <i>a, b</i> и <i>c,  c ≠ b</i>.  Известно, что квадратные трёхчлены  <i>ax</i>² + <i>bx + c</i>  и  (<i>c – b</i>)<i>x</i>² + (<i>c – a</i>)<i>x</i> + (<i>a + b</i>)  имеют общий корень (не обязательно целый). Докажите, что  <i>a + b</i> + 2<i>c</i>  делится на 3.

По данному натуральному числу <i>a</i>₀ строится последовательность {<i>a_n</i>} следующим образом   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110036/problem_110036_img_2.gif">   если <i>a_n</i> нечётно, и ^<i>a</i>₀/₂, если <i>a_n</i> чётно. Докажите, что при любом нечётном  <i>a</i>₀ > 5  в последовательности {<i>a_n</i>} встретятся сколь угодно большие числа.

Для неотрицательных чисел <i>x</i> и <i>y</i>, не превосходящих 1, докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110027/problem_110027_img_2.gif">

Последовательность {<i>a_n</i>} строится следующим образом:  <i>a</i>₁ = <i>p</i>  – простое число, имеющее ровно 300 ненулевых цифр, <i>a</i>_<i>n</i>+1 – период десятичной дроби ¹/_{<i>a_n</i>}, умноженный на 2. Найдите число <i>a</i>₂₀₀₃.

Последовательность натуральных чисел <i>a_n</i> строится следующим образом: <i>a</i>₀ – некоторое натуральное число;  <i>a</i>_<i>n</i>+1 = &frac15; <i>a_n</i>,  если <i>a_n</i> делится на 5;

<i>a</i>_<i>n</i>+1 = [<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109784/problem_109784_img_2.gif"> <i>a_n</i>],  если <i>a_n</i> не делится на 5. Докажите, что начиная с некоторого члена последовательность <i>a_n</i> возрастает.

Даны многочлены  <i>f</i>(<i>x</i>) и <i>g</i>(<i>x</i>) с целыми неотрицательными коэффициентами, <i>m</i> – наибольший коэффициент многочлена  <i>f</i>. Известно, что для некоторых натуральных чисел  <i>a < b</i>  имеют место равенства  <i>f</i>(<i>a</i>) = <i>g</i>(<i>a</i>)  и  <i>f</i>(<i>b</i>) = <i>g</i>(<i>b</i>).  Докажите, что если  <i>b > m</i>,  то многочлены  <i>f</i> и <i>g</i> совпадают.

Докажите, что для любого натурального числа  <i>n</i> > 10000  найдётся такое натуральное число <i>m</i>, представимое в виде суммы двух квадратов, что

 0 < <i>m – n</i> < 3 <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109761/problem_109761_img_2.gif"> .

Совершенное число, большее 6, делится на 3. Докажите, что оно делится на 9.

Совершенное число, большее 28, делится на 7. Докажите, что оно делится на 49.

Докажите неравенство   sin^<i>n</i>2<i>x</i> + (sin<i>ⁿx</i> – cos<i>ⁿx</i>)² ≤ 1.

Докажите, что при любом натуральном <i>n</i> справедливо неравенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109704/problem_109704_img_2.gif">

Выпуклый многоугольник<i> M </i>переходит в себя при повороте на угол90<i>^o </i>. Докажите, что найдутся два круга с отношением радиусов, равным<i> <img src="/storage/problem-media/109654/problem_109654_img_2.gif"> </i>, один из которых содержит<i> M </i>, а другой содержится в<i> M </i>.

На доску выписали все собственные делители некоторого составного натурального числа <i>n</i>, увеличенные на 1. Найдите все такие числа <i>n</i>, для которых числа на доске окажутся всеми собственными делителями некоторого натурального числа <i>m</i>.

Верно ли, что для любых трёх различных натуральных чисел <i>a, b</i> и <i>c</i> найдётся квадратный трёхчлен с целыми коэффициентами и положительным старшим коэффициентом, принимающий в некоторых целых точках значения <i>a</i>³, <i>b</i>³ и <i>c</i>³?

Сумма положительных чисел <i>a, b, c</i> и <i>d</i> равна 3. Докажите неравенство   ¹/_<i>a</i>³ + ¹/_<i>b</i>³ + ¹/_<i>c</i>³ + ¹/_<i>d</i>³ ≤ ¹/_{<i>a</i>³<i>b</i>³<i>c</i>³<i>d</i>³}.

Сумма положительных чисел <i>a, b, c</i> и <i>d</i> равна 3. Докажите неравенство   ¹/_<i>a</i>² + ¹/_<i>b</i>² + ¹/_<i>c</i>² + ¹/_<i>d</i>² ≤ ¹/_{<i>a</i>²<i>b</i>²<i>c</i>²<i>d</i>²}.