Сумма исходных чисел равна 0, а за каждый ход сумма чисел изменяется на 2. Значит, она всегда чётна, то есть числа 1, 2, ..., 9 с суммой 45 получить нельзя.

  Набор 2, 3, ..., 10 получить можно. Один из возможных способов представлен на рис. а)-в), где одинаковые числа показывают, к каким двум клеткам и сколько раз применяется операция прибавления единицы. Итоговый результат показан на рис. г).

  Покажем, что при  n> 2  нельзя получить набор чисел  n, n+ 1, ...,n+ 8.  Предположим противное. Раскрасим клетки в шахматном порядке так, как показано на рисунке. Тогда при каждом ходе одна из выбранных клеток – белая, а другая – чёрная. Значит, суммы чисел в белых и чёрных клетках изменяются на одно и то же число. Так как в начале эти суммы равны, они окажутся равными и в конце. С другой стороны, сумма чисел в чёрных клетках окажется не больше, чем  (n+ 8) + (n+ 7) + (n+ 6) = 3n+ 21,  а сумма чисел в белых – не меньше, чем  n+ (n+ 1) + ... + (n+ 5) = 6n+ 15.  При  n> 2  6n+ 15 = (3n+ 15) + 3n> 3n+ 15 + 6 = 3n+ 21;  значит, требуемые суммы равными не будут. Противоречие.

Только при  n = 2.