Олимпиадные задачи из источника «Окружная олимпиада (Москва)» для 7-9 класса - сложность 2 с решениями
Вася придумал новую шахматную фигуру "супер-слон". Один "супер-слон" (обозначим его <i>A</i>) бьёт другого (обозначим его <i>B</i>), если они стоят на одной диагонали, между ними нет фигур, и следующая по диагонали клетка за "супер-слоном" <i>B</i> свободна. Например, на рисунке фигура <i>a</i> бьёт фигуру <i>b</i>, но не бьёт ни одну из фигур <i>c, d, e, f</i> и <i>g</i>. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116871/problem_116871_img_2.gif"></div>Какое наибольшее количество "супер-слонов" можно поставить на шахматную доску так, чтобы каждый из них бился хотя бы одним другим?
На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> равностороннего треугольника <i>ABC</i> отмечены точки <i>L</i> и <i>K</i> соответственно, <i>M</i> – точка пересечения отрезков <i>AK</i> и <i>CL</i>. Известно, что площадь треугольника <i>AMC</i> равна площади четырёхугольника <i>LBKM</i>. Найдите угол <i>AMC</i>.
Квадратный трёхчлен <i>ax</i>² + 2<i>bx + c</i> имеет два различных корня, а квадратный трёхчлен <i>a</i>²<i>x</i>² + 2<i>b</i>²<i>x + c</i>² корней не имеет.
Докажите, что у первого трёхчлена корни разного знака.
Расставьте в кружках, расположенных в вершинах квадрата и в его центре, пять натуральных чисел так, чтобы каждые два числа, соединенные отрезком, имели общий делитель, больший 1, а любые два числа, не соединенные отрезком, были бы взаимно просты. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116868/problem_116868_img_2.gif"></div>
Точка <i>K</i> – середина гипотенузы <i>АВ</i> прямоугольного треугольника <i>АВС</i>. На катетах <i>АС</i> и <i>ВС</i> выбраны точки <i>М</i> и <i>N</i> соответственно так, что угол <i>МKN</i> – прямой. Докажите, что из отрезков <i>АМ, ВN</i> и <i>MN</i> можно составить прямоугольный треугольник.
Десять футбольных команд сыграли каждая с каждой по одному разу. В результате у каждой команды оказалось ровно по <i>х</i> очков.
Каково наибольшее возможное значение <i>х</i>? (Победа – 3 очка, ничья – 1 очко, поражение – 0.)
В трапеции <i>ABCD</i> основание <i>BC</i> в два раза меньше основания <i>AD</i>. Из вершины <i>D</i> опущен перпендикуляр <i>DE</i> на сторону <i>AB</i>. Докажите, что <i>СЕ = CD</i>.
Шесть кружков последовательно соединили отрезками. На каждом отрезке записали некоторое число, а в каждом кружке – сумму двух чисел, записанных на входящих в него отрезках. После этого стёрли все числа на отрезках и в одном из кружков (см. рис.). Можно ли найти число, стёртое в кружке?<div align="center"><img src="/storage/problem-media/116854/problem_116854_img_2.gif"></div>
Через концы основания <i>BC</i> трапеции <i>ABCD</i> провели окружность, которая пересекла боковые стороны <i>AB</i> и <i>CD</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i> соответственно. Известно, что точка <i>T</i> пересечения отрезков <i>AN</i> и <i>DM</i> также лежит на этой окружности. Докажите, что <i>TB</i> = <i>TC</i>.
Могут ли все корни уравнений <i>x</i>² – <i>px + q</i> = 0 и <i>x</i>² – (<i>p</i> + 1)<i>x + q</i> = 0 оказаться целыми числами, если:
а) <i>q</i> > 0;
б) <i>q</i> < 0?
Под ёлкой лежат 2012 шишек. Винни-Пух и ослик Иа-Иа играют в игру: по очереди берут себе шишки. Своим ходом Винни-Пух берёт одну или четыре шишки, а Иа-Иа – одну или три. Первым ходит Пух. Проигравшим считается тот, у кого нет хода. Кто из игроков сможет гарантированно победить, как бы ни играл соперник?
В параллелограмме <i>ABCD</i> диагональ <i>АС</i> в два раза больше стороны <i>АВ</i>. На стороне <i>BC</i> выбрана точка <i>K</i> так, что ∠<i>KDB</i> = ∠<i>BDA</i>.
Найдите отношение <i>BK</i> : <i>KC</i>.
В клетках квадрата 3×3 расставлены числа (рис. слева). Разрешается к числам, стоящим в двух соседних клетках, одновременно прибавлять одно и то же число, <i>не обязательно положительное</i>. Можно ли в какой-то момент получить такой квадрат с числами, как на рисунке справа? (Клетки считаются соседними, если имеют общую сторону.)<div align="center"><img src="/storage/problem-media/116845/problem_116845_img_2.gif"></div>
Малыш подарил Карлсону 111 конфет. Сколько-то из них они тут же съели вместе, 45% оставшихся конфет пошли Карлсону на обед, а треть конфет, оставшихся после обеда, нашла во время уборки фрёкен Бок. Сколько конфет она нашла?
Малыш и Карлсон вместе съели банку варенья. При этом Карлсон съел на 40% меньше ложек варенья, чем Малыш, но зато в его ложке помещалось на 150% варенья больше, чем в ложке Малыша. Какую часть банки варенья съел Карлсон?
Внутри угла <i>AOB</i>, равного 120°, проведены лучи <i>OC</i> и <i>OD</i> так, что каждый из них является биссектрисой какого-то из углов, получившихся на чертеже. Найдите величину угла <i>AOC</i>, указав все возможные варианты.
Докажите, что уравнение <i>l</i>² + <i>m</i>² = <i>n</i>² + 3 имеет бесконечно много решений в натуральных числах.
В окружности с центром <i>O</i> проведена хорда <i>AB</i> и радиус <i>OK</i>, пересекающий её под прямым углом в точке <i>M</i>. На большей дуге <i>AB</i> окружности выбрана точка <i>P</i>, отличная от середины этой дуги. Прямая <i>PM</i> вторично пересекает окружность в точке <i>Q</i>, а прямая <i>PK</i> пересекает <i>AB</i> в точке <i>R</i>. Докажите, что <i>KR > MQ</i>.
Есть 100 коробок, пронумерованных числами от 1 до 100. В одной коробке лежит приз и ведущий знает, где он находится. Зритель может послать ведущему пачку записок с вопросами, требующими ответа "да" или "нет". Ведущий перемешивает записки в пачке и, не оглашая вслух вопросов, честно отвечает на все. Какое наименьшее количество записок нужно послать, чтобы наверняка узнать, где находится приз?
На сторонах <i>AC</i> и <i>BC</i> треугольника <i>ABC</i> выбраны точки <i>M</i> и <i>N</i> соответственно так, что <i>MN || AB</i>. На стороне <i>AC</i> отмечена точка <i>K</i> так, что <i>CK = AM</i>. Отрезки <i>AN</i> и <i>BK</i> пересекаются в точке <i>F</i>. Докажите, что площади треугольника <i>ABF</i> и четырёхугольника <i>KFNC</i> равны.
Прямая пересекает график функции <i>y = x</i>² в точках с абсциссами <i>x</i><sub>1</sub> и <i>x</i><sub>2</sub>, а ось абсцисс – в точке с абсциссой <i>x</i><sub>3</sub>. Докажите, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116488/problem_116488_img_2.gif"> .
Какое наибольшее количество клеток можно отметить на шахматной доске так, чтобы с каждой из них на любую другую отмеченную клетку можно было пройти ровно двумя ходами шахматного коня?
<i>AL</i> – биссектриса треугольника <i>ABC, K</i> – такая точка на стороне <i>AC</i>, что <i>CK = CL</i>. Прямая <i>KL</i> и биссектриса угла <i>B</i> пересекаются в точке <i>P</i>.
Докажите, что <i>AP = PL</i>.
Незнайка утверждает, что существует восемь таких последовательных натуральных чисел, что в разложение их на простые множители каждый множитель входит в нечётной степени (например, два таких последовательных числа: 23 = 23<sup>1</sup> и 24 = 2³·3<sup>1</sup>). Прав ли он?
В трапеции <i>ABCD</i> основание <i>AD</i> в четыре раза больше чем <i>BC</i>. Прямая, проходящая через середину диагонали <i>BD</i> и параллельная <i>AB</i>, пересекает сторону <i>CD</i> в точке <i>K</i>. Найдите отношение <i>DK</i> : <i>KC</i>.