Олимпиадная задача по планиметрии: трапеция и перпендикуляр. Классы 8-9
Задача
В трапеции ABCD основание BC в два раза меньше основания AD. Из вершины D опущен перпендикуляр DE на сторону AB. Докажите, что СЕ = CD.
Решение
Решение 1:Продолжим боковые стороны AB и DC до их пересечения в точке М (рис. слева). Тогда ВС – средняя линия треугольника АМD (так как ВС || AD и
BC = 0,5AD). EC – медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника MED, следовательно, СE = МС = CD.
Решение 2:Через вершину С проведём прямую, параллельную АВ, которая пересечёт AD в точке K, а DE – в точке Р (рис. б). Тогда ABCK – параллелограмм, поэтому ВС = AK = KD. Значит, KD – средняя линия треугольника ADE, то есть СР – медиана треугольника CDE. Кроме того, АВ ⊥ DE, CP || AB, значит, CP ⊥ DE, то есть СР – высота треугольника CDE. Так как СР – медиана и высота треугольника CDE, то этот треугольник – равнобедренный.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь