Олимпиадная задача по многочленам для 8–9 классов: целые корни двух квадратных уравнений

  а) Например, корни уравнений  x² – 7x + 12 = 0  и  x² – 8x + 12 = 0  – целые (соответственно 3 и 4, 2 и 6).   б) Каждое из данных уравнений имеет корни разных знаков. Пусть  x₁ > 0  и  –x₂ < 0  – корни первого уравнения, а  x₃ > 0  и  x₄ < 0  – корни второго. По теореме Виета  x₁x₂ = x₃x₄ = –q.  Кроме того,  x₁ ≠ x₃,  иначе  x₂ = x₄,  а одинаковые наборы корней данные уравнения иметь не могут. Пусть  x₁ < x₃,  тогда  x₂ > x₄  (случай, когда  x₁ > x₃  рассматривается аналогично). Так как все корни – целые числа, то  x₃ – x₁ ≥ 1  и  x₂ – x₄ ≥ 1.  Но  x₁ – x₂ = p  и

x₃ – x₄ = p + 1.  Тогда  1 = (p + 1) – р = (x₃ – x₄) – (x₁ – x₂) = (x₃ – x₁) + (x₂ – x₄) ≥ 2.  Противоречие.

а) Могут;  б) не могут.