Олимпиадные задачи из источника «1955 год» для 9 класса

Дан треугольник<i>A</i>₀<i>B</i>₀<i>C</i>₀. На его сторонах<i>A</i>₀<i>B</i>₀,<i>B</i>₀<i>C</i>₀,<i>C</i>₀<i>A</i>₀взяты точки<i>C</i>₁,<i>A</i>₁,<i>B</i>₁соответственно. На сторонах<i>A</i>₁<i>B</i>₁,<i>B</i>₁<i>C</i>₁,<i>C</i>...

Доказать, что если  ^<i>p</i>/_<i>q</i> – несократимая рациональная дробь, являющаяся корнем полинома  <i>f</i>(<i>x</i>) с целыми коэффициентами, то  <i>p – kq</i>  есть делитель числа  <i>f</i>(<i>k</i>) при любом целом <i>k</i>.

Дано уравнение  <i>xⁿ – a</i>₁<i>x</i>^<i>n</i>–1 – <i>a</i>₂<i>x</i>^<i>n</i>–2 – ... – <i>a</i>_<i>n</i>–1<i>x – a_n</i> = 0,  где  <i>a</i>₁ ≥ 0,  <i>a</i>₂ ≥ 0,  <i>a_n</i> ≥ 0.

Доказать, что это уравнение не может иметь двух положительных корней.

Числа [<i>a</i>], [2<i>a</i>], ..., [<i>Na</i>] различны между собой, и числа$\left[\vphantom{\frac{1}{a}}\right.$${\frac{1}{a}}$$\left.\vphantom{\frac{1}{a}}\right]$,$\left[\vphantom{\frac{2}{a}}\right.$${\frac{2}{a}}$$\left.\vphantom{\frac{2}{a}}\right]$, ...,$\left[\vphantom{\frac{M}{a}}\right.$${\frac{M}{a}}$$\left.\vphantom{\frac{M}{a}}\right]$тоже различны между собой. Найти все такие<i>a</i>.

Неравенство<div align="CENTER"> <i>Aa</i>(<i>Bb</i> + <i>Cc</i>) + <i>Bb</i>(<i>Cc</i> + <i>Aa</i>) + <i>Cc</i>(<i>Aa</i> + <i>Bb</i>) > $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$(<i>ABc</i>² + <i>BCa</i>² + <i>CAb</i>²), </div>где<i>a</i>> 0,<i>b</i>> 0,<i>c</i>> 0 — данные числа, выполняется для всех<i>A</i>> 0,<i>B</i>> 0,<i>C</i>> 0. Можно ли из отрезков<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>составить треугольник?

Точка <i>O</i> лежит внутри выпуклого <i>n</i>-угольника <i>A</i>₁...<i>A_n</i> и соединена отрезками с вершинами. Стороны <i>n</i>-угольника нумеруются числами от 1 до <i>n</i>, разные стороны нумеруются разными числами. То же самое делается с отрезками <i>OA</i>₁, ..., <i>OA_n</i>.

  а) При  <i>n</i> = 9  найти нумерацию, при которой сумма номеров сторон для всех треугольников <i>A</i>₁<i>OA</i>₂, ..., <i>A_n</i><i>OA</i>₁ одинакова.

  б) Доказать, чт...

Две окружности касаются друг друга внешним образом и третьей изнутри. Проводятся внешняя и внутренняя общие касательные к первым двум окружностям. Доказать, что внутренняя касательная делит пополам дугу, отсекаемую внешней касательной на третьей окружности.

Трёхчлен  <i>ax</i>² + <i>bx + c</i>  при всех целых <i>x</i> является точным квадратом. Доказать, что тогда  <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> = (<i>dx + e</i>)².

Дан$\Delta$<i>ABC</i>. Центры вневписанных окружностей<i>O</i>₁,<i>O</i>₂и<i>O</i>₃соединены прямыми. Доказать, что$\Delta$<i>O</i>₁<i>O</i>₂<i>O</i>₃— остроугольный.

Трёхчлен  <i>ax</i>² + <i>bx + c</i>  при всех целых <i>x</i> является точной четвёртой степенью. Доказать, что тогда  <i>a = b</i> = 0.

Решить в целых числах уравнение  <i>x</i>³ – 2<i>y</i>³ – 4<i>z</i>³ = 0.

<i>p</i> простых чисел <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a_p</i> образуют возрастающую арифметическую прогрессию и  <i>a</i>₁ > <i>p</i>.

Доказать, что если <i>p</i> – простое число, то разность прогрессии делится на <i>p</i>.

Найти все действительные решения системы

   <i>x</i>³ + <i>y</i>³ = 1,

   <i>x</i>⁴ + <i>y</i>⁴ = 1.

Найти геометрическое место середин отрезков с концами на двух различных непересекающихся окружностях, лежащих одна вне другой.

На окружности даны четыре точки<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>. Через каждую пару соседних точек проведена окружность. Вторые точки пересечения соседних окружностей обозначим через<i>A</i>₁,<i>B</i>₁,<i>C</i>₁,<i>D</i>₁. (Некоторые из них могут совпадать с прежними.) Доказать, что<i>A</i>₁,<i>B</i>₁,<i>C</i>₁,<i>D</i>₁лежат на одной окружности.

Какие выпуклые фигуры могут содержать прямую?

Квадратная таблица из 49 клеток заполнена числами от 1 до 7 так, что в каждом столбце и в каждой строке встречаются все эти числа. Докажите, что если таблица симметрична относительно диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний, то на этой диагонали встречаются все эти числа.

Дан четырехугольник<i>ABCD</i>. На стороне<i>AB</i>взята точка<i>K</i>, на стороне<i>BC</i>&8212; точка<i>L</i>, на стороне<i>CD</i>— точка<i>M</i>и на стороне<i>AD</i>— точка<i>N</i>, так, что<i>KB</i>=<i>BL</i>=<i>a</i>,<i>MD</i>=<i>DN</i>=<i>b</i>. Пусть<i>KL</i>$\nparallel$<i>MN</i>. Найти геометрическое место точек пересечения прямых<i>KL</i>и<i>MN</i>при изменении<i>a</i>и<i>b</i>.

2^<i>n</i> = 10<i>a + b</i>.  Доказать, что если  <i>n</i> > 3,  то <i>ab</i> делится на 6.  (<i>n, a</i> и <i>b</i> – целые числа,  <i>b</i> < 10.)

Найти все прямоугольники, которые можно разрезать на 13 равных квадратов.

Дан равносторонний$\Delta$<i>ABC</i>. На сторонах<i>AB</i>и<i>BC</i>взяты точки<i>D</i>и<i>E</i>так, что<i>AE</i>=<i>CD</i>. Найти геометрическое место точек пересечения отрезков<i>AE</i>и<i>CD</i>.

Дан прямоугольный треугольник <i>ABC</i>. Из вершины <i>B</i> прямого угла проведена медиана <i>BD</i>. Пусть <i>K</i> – точка касания стороны <i>AD</i> треугольника <i>ABD</i> с вписанной окружностью этого треугольника. Найти острые углы треугольника <i>ABC</i>, если <i>K</i> делит <i>AD</i> пополам.

Числа 1, 2, ..., 49 расположены в квадратную таблицу <div align="center"><img src="/storage/problem-media/78024/problem_78024_img_2.gif"></div>Произвольное число из таблицы выписывается, после чего из таблицы вычёркивается строка и столбец, содержащие это число. То же самое проделывается с оставшейся таблицей и т.д., всего 7 раз. Найти сумму выписанных чисел.

Существует ли такое натуральное <i>n</i>, что  <i>n</i>² + <i>n</i> + 1  делится на 1955?