Олимпиадные задачи из источника «10 класс, 2 тур»

Дан треугольник<i>A</i>₀<i>B</i>₀<i>C</i>₀. На его сторонах<i>A</i>₀<i>B</i>₀,<i>B</i>₀<i>C</i>₀,<i>C</i>₀<i>A</i>₀взяты точки<i>C</i>₁,<i>A</i>₁,<i>B</i>₁соответственно. На сторонах<i>A</i>₁<i>B</i>₁,<i>B</i>₁<i>C</i>₁,<i>C</i>...

Имеется 1955 точек. Какое максимальное число троек можно из них выбрать так, чтобы каждые две тройки имели ровно одну общую точку?

На плоскости<i>P</i>стоит прямой круговой конус. Радиус основания<i>r</i>, высота —<i>h</i>. На расстоянии<i>H</i>от плоскости и<i>l</i>от высоты конуса находится источник света. Какую часть окружности радиуса<i>R</i>, лежащей в плоскости<i>P</i>и концентрической с окружностью, лежащей в основании конуса, осветит этот источник?

Доказать, что если  ^<i>p</i>/_<i>q</i> – несократимая рациональная дробь, являющаяся корнем полинома  <i>f</i>(<i>x</i>) с целыми коэффициентами, то  <i>p – kq</i>  есть делитель числа  <i>f</i>(<i>k</i>) при любом целом <i>k</i>.

Расположить на прямой систему отрезков длины 1, не имеющих общих концов и общих точек так, чтобы бесконечная арифметическая прогрессия с любой разностью и любым начальным членом имела общую точку с некоторым отрезком системы.