Олимпиадные задачи из источника «8 класс, 2 тур»

Числа [<i>a</i>], [2<i>a</i>], ..., [<i>Na</i>] различны между собой, и числа$\left[\vphantom{\frac{1}{a}}\right.$${\frac{1}{a}}$$\left.\vphantom{\frac{1}{a}}\right]$,$\left[\vphantom{\frac{2}{a}}\right.$${\frac{2}{a}}$$\left.\vphantom{\frac{2}{a}}\right]$, ...,$\left[\vphantom{\frac{M}{a}}\right.$${\frac{M}{a}}$$\left.\vphantom{\frac{M}{a}}\right]$тоже различны между собой. Найти все такие<i>a</i>.

Неравенство<div align="CENTER"> <i>Aa</i>(<i>Bb</i> + <i>Cc</i>) + <i>Bb</i>(<i>Cc</i> + <i>Aa</i>) + <i>Cc</i>(<i>Aa</i> + <i>Bb</i>) > $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$(<i>ABc</i>² + <i>BCa</i>² + <i>CAb</i>²), </div>где<i>a</i>> 0,<i>b</i>> 0,<i>c</i>> 0 — данные числа, выполняется для всех<i>A</i>> 0,<i>B</i>> 0,<i>C</i>> 0. Можно ли из отрезков<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>составить треугольник?

Точка <i>O</i> лежит внутри выпуклого <i>n</i>-угольника <i>A</i>₁...<i>A_n</i> и соединена отрезками с вершинами. Стороны <i>n</i>-угольника нумеруются числами от 1 до <i>n</i>, разные стороны нумеруются разными числами. То же самое делается с отрезками <i>OA</i>₁, ..., <i>OA_n</i>.

  а) При  <i>n</i> = 9  найти нумерацию, при которой сумма номеров сторон для всех треугольников <i>A</i>₁<i>OA</i>₂, ..., <i>A_n</i><i>OA</i>₁ одинакова.

  б) Доказать, чт...

Две окружности касаются друг друга внешним образом и третьей изнутри. Проводятся внешняя и внутренняя общие касательные к первым двум окружностям. Доказать, что внутренняя касательная делит пополам дугу, отсекаемую внешней касательной на третьей окружности.

Трёхчлен  <i>ax</i>² + <i>bx + c</i>  при всех целых <i>x</i> является точным квадратом. Доказать, что тогда  <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> = (<i>dx + e</i>)².