ПустьO₁иO₂— центры первых двух окружностей,O— центр третьей окружности,AиB— точки пересечения третьей окружности с внешней касательной,P— середина дугиAB(точкиPиO₁лежат по разные стороны от прямойAB). Проведём из точкиPкасательнуюPQк окружности с центромO₁. Докажем, чтоPQ=PA. ПустьMиN— точки касания окружности с центромO₁с прямойABи с третьей окружностью. ТреугольникиNO₁MиNOPравнобедренные, причём$\angle$NO₁M=$\angle$NOP, поэтому прямаяMNпроходит через точкуP. Следовательно,PQ²=PM ^. PN=PM ^. (PM+MN) =PM²+AM ^. MB. ПустьK— середина отрезкаAB. ТогдаPM²=PK²+KM²иAM ^. MB=AK²-KM², поэтомуPQ²=PK²+AK²=AP². Таким образом,PO₁²=PQ²+QO₁²=PA²+r₁², гдеr₁— радиус окружности с центромO₁. Аналогично доказывается, чтоPO₂²=PQ²+QO₂²=PA²+r₂², гдеr₂— радиус окружности с центромO₂. ПустьR— точка касания первых двух окружностей (она лежит на отрезкеO₁O₂). ТогдаPO₁²-PO₂²=r₁²-r₂²=RO₁²-RO₂². Из этого следует, чтоPR$\bot$O₁O₂, а значит,PR— общая внешняя касательная к первым двум окружностям. (Тот факт, что множество точекX, для которыхXO₁²-XO₂²=const, представляет собой прямую, перпендикулярную прямойO₁O₂, легко доказать методом координат.)

Ответ задачи отсутствует