Олимпиадная задача по планиметрии: четыре точки A, B, C, D и окружност

Задача

На окружности даны четыре точкиA,B,C,D. Через каждую пару соседних точек проведена окружность. Вторые точки пересечения соседних окружностей обозначим черезA₁,B₁,C₁,D₁. (Некоторые из них могут совпадать с прежними.) Доказать, чтоA₁,B₁,C₁,D₁лежат на одной окружности.

Решение

Воспользуемся свойствами ориентированных углов между прямыми:

$\displaystyle \angle$(B₁A₁, A₁D₁)	= $\displaystyle \angle$(B₁A₁, A₁A) + $\displaystyle \angle$(AA₁, A₁D₁) =
	= $\displaystyle \angle$(B₁B, BA) + $\displaystyle \angle$(AD, DD₁),
$\displaystyle \angle$(B₁C₁, C₁D₁)	= $\displaystyle \angle$(B₁C₁, C₁C) + $\displaystyle \angle$(CC₁, C₁D₁) =
	= $\displaystyle \angle$(B₁B, BC) + $\displaystyle \angle$(CD, DD₁).

Поэтому равенство$\angle$(B₁A₁,A₁D₁) =$\angle$(B₁C₁,C₁D₁) эквивалентно равенству$\angle$(B₁B,BA) +$\angle$(AD,DD₁) =$\angle$(B₁B,BC) +$\angle$(CD,DD₁). Последнее равенство следует из того, что$\angle$(AB,BC) =$\angle$(AD,DC),$\angle$(AB,BC) =$\angle$(AB,BB₁) +$\angle$(BB₁,BC) и$\angle$(AD,DC) =$\angle$(AD,DD₁) +$\angle$(DD₁,DC).

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Окружности и точки пересечения: четыре точки на окружности

Задача

Решение

Ответ

Подтверждение удаления