Задача
На окружности даны четыре точкиA,B,C,D. Через каждую пару соседних точек проведена окружность. Вторые точки пересечения соседних окружностей обозначим черезA1,B1,C1,D1. (Некоторые из них могут совпадать с прежними.) Доказать, чтоA1,B1,C1,D1лежат на одной окружности.
Решение
Воспользуемся свойствами ориентированных углов между прямыми:
| $\displaystyle \angle$(B1A1, A1D1) | = $\displaystyle \angle$(B1A1, A1A) + $\displaystyle \angle$(AA1, A1D1) = |
| = $\displaystyle \angle$(B1B, BA) + $\displaystyle \angle$(AD, DD1), | |
| $\displaystyle \angle$(B1C1, C1D1) | = $\displaystyle \angle$(B1C1, C1C) + $\displaystyle \angle$(CC1, C1D1) = |
| = $\displaystyle \angle$(B1B, BC) + $\displaystyle \angle$(CD, DD1). |
Поэтому равенство$\angle$(B1A1,A1D1) =$\angle$(B1C1,C1D1) эквивалентно равенству$\angle$(B1B,BA) +$\angle$(AD,DD1) =$\angle$(B1B,BC) +$\angle$(CD,DD1). Последнее равенство следует из того, что$\angle$(AB,BC) =$\angle$(AD,DC),$\angle$(AB,BC) =$\angle$(AB,BB1) +$\angle$(BB1,BC) и$\angle$(AD,DC) =$\angle$(AD,DD1) +$\angle$(DD1,DC).
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет