Задача
Неравенство
Aa(Bb + Cc) + Bb(Cc + Aa) + Cc(Aa + Bb) > $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$(ABc2 + BCa2 + CAb2),
гдеa> 0,b> 0,c> 0 — данные числа, выполняется для всехA> 0,B> 0,C> 0. Можно ли из отрезковa,b,cсоставить треугольник?
Решение
Ответ:да, можно. ПоложимA=B= 1,C=$\varepsilon$. Тогда
a(b + $\displaystyle \varepsilon$c) + b($\displaystyle \varepsilon$c + a) + $\displaystyle \varepsilon$c(a + b) > $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$(c2 + $\displaystyle \varepsilon$a2 + $\displaystyle \varepsilon$b2).(1)
Поэтому должно выполняться неравенство2ab$\ge$${\frac{1}{2}}$c2, поскольку иначе
неравенство (1) не выполнялось бы при малых$\varepsilon$. Значит,c2$\le$4ab$\le$(a+b)2. Числаa,b,cположительны, поэтомуc$\le$a+b.
Неравенстваa$\le$b+cиb$\le$a+cдоказываются аналогично.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет