Олимпиадные задачи из источника «9 класс, 2 тур»
9 класс, 2 тур
НазадПять человек играют несколько партий в домино (два на два) так, что каждый играющий имеет каждого из остальных один раз партнёром и два раза противником. Найти количество сыгранных партий и все способы распределения играющих.
Дано уравнение <i>x<sup>n</sup> – a</i><sub>1</sub><i>x</i><sup><i>n</i>–1</sup> – <i>a</i><sub>2</sub><i>x</i><sup><i>n</i>–2</sup> – ... – <i>a</i><sub><i>n</i>–1</sub><i>x – a<sub>n</sub></i> = 0, где <i>a</i><sub>1</sub> ≥ 0, <i>a</i><sub>2</sub> ≥ 0, <i>a<sub>n</sub></i> ≥ 0.
Доказать, что это уравнение не может иметь двух положительных корней.
Расположить на прямой систему отрезков длины 1, не имеющих общих концов и общих точек так, чтобы бесконечная арифметическая прогрессия с любой разностью и любым начальным членом имела общую точку с некоторым отрезком системы.
Дан треугольник <i>ABC</i>. На сторонах <i>AB, BC, CA</i> взяты соответственно точки <i>C</i><sub>1</sub>, <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub> так, что <i>AC</i><sub>1</sub> : <i>C</i><sub>1</sub><i>B = BA</i><sub>1</sub> : <i>A</i><sub>1</sub><i>C = CB</i><sub>1</sub> : <i>B</i><sub>1</sub><i>A</i> = 1 : <i>n</i>. На сторонах <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>, <i>C</i&g...
Две окружности касаются друг друга внешним образом и третьей изнутри. Проводятся внешняя и внутренняя общие касательные к первым двум окружностям. Доказать, что внутренняя касательная делит пополам дугу, отсекаемую внешней касательной на третьей окружности.