Олимпиадные задачи из источника «1972 год» - сложность 3 с решениями
Пусть <i>a</i> – заданное вещественное число, <i>n</i> – натуральное число, <i>n</i> > 1.
Найдите все такие <i>x</i>, что сумма корней <i>n</i>-й степени из чисел <i>x<sup>n</sup> – a<sup>n</sup></i> и 2<i>a<sup>n</sup> – x<sup>n</sup></i> равна числу <i>a</i>.
В квадратной таблице 4×4 расставлены числа 1, 2, 3, ..., 16 так, что сумма четырёх чисел в каждой строке, в каждом столбце и на каждой из двух диагоналей равна одному и тому же числу, причём числа 1 и 16 стоят в противоположных углах таблицы. Докажите, что в этом "магическом квадрате" сумма любых двух чисел, расположенных симметрично относительно центра квадрата, одна и та же.
На плоскости нарисован правильный шестиугольник, длина стороны которого равна 1. При помощи одной только линейки постройте отрезок, длина которого равна <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73706/problem_73706_img_2.gif">
В любой арифметической прогрессии <i>a, a + d, a</i> + 2<i>d, ..., a + nd</i>, ..., составленной из натуральных чисел, есть бесконечно много членов, в разложении которых на простые множители входят в точности одни и те же простые числа. Докажите это.
Последовательность <i>x</i><sub>0</sub>, <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, ... определена следующими условиями: <i>x</i><sub>0</sub> = 1, <i>x</i><sub>1</sub> = λ, для любого <i>n</i> > 1 выполнено равенство <div align="center">(α + β)<i><sup>n</sup>x<sub>n</sub></i> = α<i><sup>n</sup>x<sub>n</sub>x</i><sub>0</sub> + α<sup><i>n</i>–1</sup>β<i>x</i><sub><i>n</i>–1</sub><i>x</i><sub>1</sub> + α<sup><i>n</i>–2</sup>β<sup>2</sup>...
а) В вершинах правильного семиугольника расставлены чёрные и белые фишки. Докажите, что найдутся три фишки одного цвета,
лежащие в вершинах равнобедренного треугольника. б) Верно ли аналогичное утверждение для восьмиугольника? в) Для каких правильных <i>n</i>-угольников аналогичное верно, а для каких – нет.
Хозяин обещает работнику платить в среднем <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73680/problem_73680_img_2.gif"> рублей в день. Для этого каждый день он платит 1 или 2 рубля с таким расчётом, чтобы для любого натурального <i>n</i> выплаченная за первые <i>n</i> дней сумма была натуральным числом, наиболее близким к <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73680/problem_73680_img_3.gif"> Вот величины первых пяти выплат: 1, 2, 1, 2, 1. Докажите, что последовательность выплат непериодическая.
а) Докажите, что нельзя занумеровать рёбра куба числами 1, 2, ..., 11, 12 так, чтобы для каждой вершины сумма номеров трёх выходящих из неё рёбер была одной и той же. б) Можно ли вычеркнуть одно из чисел 1, 2, ..., 12, 13 и оставшимися занумеровать рёбра куба так, чтобы выполнялось то же условие?
а) В ведро налили 12 литров молока. Пользуясь лишь сосудами в 5 и 7 л, разделите молоко на две равные части.
б) Решите общую задачу: при каких <i>a</i> и <i>b</i> можно разделить пополам <i>a + b</i> литров молока, пользуясь лишь сосудами в <i>a</i> литров, <i>b</i> литров и <i>a + b</i> литров? За одно переливание из одного сосуда в другой можно вылить всё, что там есть, или долить второй сосуд до верха.
Для каждого натурального <i>n</i> обозначим через <i>s</i>(<i>n</i>) сумму цифр его десятичной записи. Назовём натуральное число <i>m</i> особым, если его нельзя представить в виде <i>m = n + s</i>(<i>n</i>). (Например, число 117 не особое, поскольку 117 = 108 + <i>s</i>(108), а число 121, как нетрудно убедиться, – особое.) Верно ли, что особых чисел существует лишь конечное число?
Для любых <i>n</i> вещественных чисел <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i> существует такое натуральное <i>k ≤ n</i>, что каждое из <i>k</i> чисел <i>a</i><sub><i>k</i></sub>, ½ (<i>a<sub>k</sub> + a</i><sub><i>k</i>–1</sub>),
⅓ (<i>a<sub>k</sub> + a</i><sub><i>k</i>–1</sub> + <i>a</i><sub><i>k</i>–2</sub>), ..., <sup>1</sup>/<sub><i>k</i></sub> (<i>a<sub>k</sub> + a</i><sub><i>k</i>–1</su...
Докажите, что при любом простом <i>p</i> <img align="middle" src="/storage/problem-media/60750/problem_60750_img_2.gif"> делится на <i>p</i>.
Диагонали выпуклого четырёхугольника взаимно перпендикулярны. Докажите, что четыре проекции точки пересечения диагоналей на стороны четырёхугольника лежат на одной окружности.
Пятиугольник <i>ABCDE</i> вписан в окружность. Расстояния от точки <i>A</i> до прямых <i>BC, CD</i> и <i>DE</i> равны соответственно <i>a, b</i> и <i>c</i>.
Найдите расстояние от вершины <i>A</i> до прямой <i>BE</i>.