Задача
Диагонали выпуклого четырёхугольника взаимно перпендикулярны. Докажите, что четыре проекции точки пересечения диагоналей на стороны четырёхугольника лежат на одной окружности.
Решение
Пусть O — точка пересечения диагоналей AC и BD четырёхугольника ABCD; M, N, P, Q — проекции точки O на AB, BC, CD и AD. Тогда
$\displaystyle \angle$QMO + $\displaystyle \angle$QPO = $\displaystyle \angle$QAO + $\displaystyle \angle$QDO = 90o
(т.к. точкиMиQлежат на окружности с диаметромAO, а
точкиPиQ— на окружности с диаметромOD).
Аналогично$\angle$OMN+$\angle$OPN= 90o. Поэтому
$\displaystyle \angle$QPN + $\displaystyle \angle$QMN = 180o.
Следовательно, четырёхугольникMNPQ— вписанный.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет