Олимпиадные задачи из источника «1971 год» для 11 класса

а) Доказать, что сумма цифр числа <i>K</i> не более чем в 8 раз превосходит сумму цифр числа 8<i>K</i>.

б) Для каких натуральных <i>k</i> существует такое положительное число <i>c_k</i>, что  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/78791/problem_78791_img_2.gif"> ≥ <i>c_k</i>  для всех натуральных <i>N</i>? Найдите наибольшее подходящее значение <i>c_k</i>.

В клетки таблицы <i>m×n</i> вписаны некоторые числа. Разрешается одновременно менять знак у всех чисел некоторого столбца или некоторой строки. Доказать, что многократным повторением этой операции можно превратить данную таблицу в такую, у которой суммы чисел, стоящих в каждом столбце и каждой строке, неотрицательны.

Собралось <i>n</i> человек. Некоторые из них знакомы между собой, причём каждые два незнакомых имеют ровно двух общих знакомых, а каждые два знакомых не имеют общих знакомых. Доказать, что каждый из присутствующих знаком с одинаковым числом человек.

В некотором множестве введена<nobr>операция <font face="Symbol"></font>,</nobr>которая по каждым двум элементам<i>a</i><nobr>и <i>b</i></nobr>этого множества вычисляет некоторый элемент<i>a</i><font face="Symbol"></font><i>b</i>этого множества. Известно, что:<nobr>1°. Для любых трех элементов <i>a</i>, <i>b</i> и <i>c</i></nobr> <nobr>          <i>a</i><font face="Symbol"></font>(<i>b</i><font face="Symbol"></font><i>c</i>) = <i>b</i><font face="Symbol">*</font>(<i>c</i><font face="Symbo...

Если на каждой грани выпуклого многогранника выбрать по точке и провести из этой точки направленный перпендикулярно соответствующей грани во внешнюю сторону вектор, длина которого равна площади этой грани, то сумма всех таких векторов окажется равна нулю. Докажите это.

С четырёх сторон шахматной доски размером <i>n×n</i> построена кайма шириной в два поля. Докажите, что кайму можно обойти шахматным конём, побывав на каждом поле один и только один раз, в тех и только тех случаях, когда  <i>n</i> – 1  кратно 4.

Несколько человек в течение <i>t</i> минут наблюдали за улиткой. Каждый наблюдал за ней ровно 1 минуту и заметил, что за эту минуту улитка проползла ровно 1 метр. Ни в один момент времени улитка не оставалась без наблюдения. Какой наименьший и какой наибольший путь могла она проползти за эти <i>t</i> минут?

В три сосуда налито по целому числу литров воды. В любой сосуд разрешено перелить столько воды, сколько в нём уже содержится, из любого другого сосуда. Докажите, что несколькими такими переливаниями можно освободить один из сосудов. (Сосуды достаточно велики: каждый может вместить всю воду.)

В таблице размером <i>m×n</i> записаны числа так, что для каждых двух строк и каждых двух столбцов сумма чисел в двух противоположных вершинах образуемого ими прямоугольника равна сумме чисел в двух других его вершинах. Часть чисел стёрли, но по оставшимся можно восстановить стёртые. Докажите, что осталось не меньше чем  (<i>n + m</i> – 1)  чисел.

Докажите, что если для чисел <i>p</i>₁, <i>p</i>₂, <i>q</i>₁ и <i>q</i>₂ выполнено неравенство  (<i>q</i>₁ – <i>q</i>₂)² + (<i>p</i>₁ – <i>p</i>₂)(<i>p</i>₁<i>q</i>₂ – <i>p</i>₂<i>q</i>₁) < 0,  то квадратные трёхчлены

<i>x</i>² + <i>p</i>₁<i>x</i> + <i>q</i>₁  и  <i>x</i&...

Исследуйте, сколько решений имеет система уравнений

    <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>xy = a</i>,

    <i>x</i>² – <i>y</i>² = <i>b</i>,

где <i>а</i> и <i>b</i> – некоторые данные действительные числа.

Множество, состоящее из конечного числа точек плоскости, обладает следующим свойством: для любых двух его точек<i>A</i><nobr>и <i>B</i></nobr>существует такая<nobr>точка <i>С</i></nobr>этого множества, что треугольник<i>ABC</i>равносторонний. Сколько точек может содержать такое множество?

Сумма тангенсов углов величиной 1°, 5°, 9°, 13°, ..., 173°, 177°<nobr>равна 45.</nobr>Докажите это.

В трапеции<i>ABCD</i>с основаниями<nobr><i>AB</i> = <i>a</i></nobr>и<nobr><i>CD</i> = <i>b</i></nobr>проведён отрезок<i>A</i>₁<i>B</i>₁, соединяющий середины диагоналей.<nobr>В полученной</nobr>трапеции проведён отрезок<i>A</i>₂<i>B</i>₂, тоже соединяющий середины диагоналей, и так далее. Может ли в последовательности длин отрезков<i>AB</i>,<i>A</i>₁<i>B</i>₁,<i>A</i>₂<i>B</i>₂,... какое-то число встретиться...

Если в каждой вершине выпуклого многогранника сходятся не менее чем четыре ребра, то хотя бы одна из его граней – треугольник.

Докажите это.

Если<nobr><i>x</i>₁ < <i>x</i>₂ < <i>x</i>₃ < ... < <i>x</i>_<i>n</i> —</nobr>натуральные числа, то сумма<nobr><i>n</i> – 1</nobr>дробей,<nobr><i>k</i>-я из</nobr>которых, где<nobr><i>k</i> < <i>n</i>,</nobr>равна отношению квадратного корня из разности<nobr><i>x</i>_<i>k</i>+1 - <i>x</i>_<i>k</i></nobr>к числу<i>x</i>_<i>k</i>+1, меньше суммы чисел 1,¹/<sub&g...

Какому условию должны удовлетворять коэффициенты <i>a, b, c</i> уравнения  <i>x</i>³ + <i>ax</i>² + <i>bx + c</i>,  чтобы три его корня составляли арифметическую прогрессию?

Докажите, что числа 1, 2, ..., <i>n</i> ни при каком  <i>n</i> > 1  нельзя разбить на два множества так, чтобы произведение чисел одного из них равнялось произведению чисел другого.

а) Сумма длин рёбер любого выпуклого многогранника больше утроенного диаметра. Докажите это.<span class="prim">(Диаметром многогранника называют наибольшую из длин всевозможных отрезков с концами в вершинах многогранника.)</span>б) Для любых двух <nobr>вершин <i>A</i></nobr> <nobr>и <i>B</i></nobr> любого выпуклого многогранника существуют три ломаные, каждая из которых идёт по рёбрам многогранника <nobr>из <i>А</i></nobr> <nobr>в <i>В</i></nobr> и никакие две не проходят по одному ребру. Докажите это. в) Если в выпуклом многограннике разрезать два ребра, то для любых двух его <nobr>вершин <i>А</i></nobr> <nobr>и <i>В</i></nobr&g...

Многочлен <i>p</i> и число <i>a</i> таковы, что для любого числа <i>x</i> верно равенство  <i>p</i>(<i>x</i>) = <i>p</i>(<i>a – x</i>).

Докажите, что <i>p</i>(<i>x</i>) можно представить в виде многочлена от  (<i>x</i> – ^<i>a</i>/₂)².

Пусть<i>l</i>₁,<i>l</i>₂, ...,<nobr><i>l</i>_<i>n</i> —</nobr>несколько прямых на плоскости, не все из которых параллельны. Докажите, что можно единственным образом выбрать на каждой из этих прямых по точке<i>X</i>₁,<i>X</i>₂, ...,<i>X</i>_<i>n</i>так, чтобы перпендикуляр, восставленный к прямой<i>l</i>_<i>k</i>в точке<i>X</i>_<i>k</i>(для любого натурального<nobr><i>k</i> < <i>n</i>),</nobr>проходил через точку<i>X...

Число 76 обладает таким любопытным свойством: последние две цифры числа  76² = 5776  – это снова 76.

  а) Есть ли ещё такие двузначные числа?

  б) Найдите все такие трёхзначные числа <i>A</i>, что последние три цифры числа <i>A</i>² составляют число <i>А</i>.

  в) Существует ли такая бесконечная последовательность цифр <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, ..., что для любого натурального <i>n</i> квадрат числа <span style="text-decoration: overline;"><i>a_na</i>_<i>n</i>–1...<i>a</i>₂<i>a</i><sub>1&lt...

<img src="/storage/problem-media/73603/problem_73603_img_2.png" width="400" height="417" vspace="10" hspace="20" align="right">Сетка линий, изображённая на рисунке, состоит из концентрических окружностей с радиусами 1, 2, 3, 4,... и центром в<nobr>точке <i>О</i>,</nobr><nobr>прямой <i>l</i>,</nobr>проходящей через<nobr>точку <i>О</i></nobr>, и всевозможных касательных к окружностям,<nobr>параллельных <i>l</i>.</nobr>Вся плоскость разбита этими линиями на клетки, которые раскрашены в шахматном порядке. В цепочке точек, показанных на рисунке, каждые две соседние точки являются противоположными вершинами тёмной клетки. Докажите, что...

<img align="RIGHT" src="/storage/problem-media/73602/problem_73602_img_2.gif">Ювелиру заказали золотое кольцо<nobr>шириной <i>h</i>,</nobr>имеющее форму тела, ограниченного поверхностью шара с<nobr>центром <i>О</i></nobr>и поверхностью цилиндра<nobr>радиусом <i>r</i>,</nobr>ось которого проходит через<nobr>точку <i>О</i>.</nobr>Мастер сделал такое колечко, но<nobr>выбрал <i>r</i></nobr>слишком маленьким. Сколько золота ему придётся добавить, если<i>r</i>нужно увеличить в<nobr><i>k</i> раз,</nobr>а<nobr>ширину <i>h</i></nobr>оставить прежней?

В квадрате со стороной 1 расположена фигура, расстояние между любыми двумя точками которой не равно 0, 001. Докажите, что площадь этой фигуры не превосходит: а) 0, 34; б) 0, 287.