Олимпиадные задачи из источника «выпуск 2»
выпуск 2
НазадПусть<i>l</i><sub>1</sub>,<i>l</i><sub>2</sub>, ...,<nobr><i>l</i><sub><i>n</i></sub> —</nobr>несколько прямых на плоскости, не все из которых параллельны. Докажите, что можно единственным образом выбрать на каждой из этих прямых по точке<i>X</i><sub>1</sub>,<i>X</i><sub>2</sub>, ...,<i>X</i><sub><i>n</i></sub>так, чтобы перпендикуляр, восставленный к прямой<i>l</i><sub><i>k</i></sub>в точке<i>X</i><sub><i>k</i></sub>(для любого натурального<nobr><i>k</i> < <i>n</i>),</nobr>проходил через точку<i>X...
Число 76 обладает таким любопытным свойством: последние две цифры числа 76² = 5776 – это снова 76.
а) Есть ли ещё такие двузначные числа?
б) Найдите все такие трёхзначные числа <i>A</i>, что последние три цифры числа <i>A</i>² составляют число <i>А</i>.
в) Существует ли такая бесконечная последовательность цифр <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, <i>a</i><sub>3</sub>, ..., что для любого натурального <i>n</i> квадрат числа <span style="text-decoration: overline;"><i>a<sub>n</sub>a</i><sub><i>n</i>–1</sub>...<i>a</i><sub>2</sub><i>a</i><sub>1<...
<img src="/storage/problem-media/73603/problem_73603_img_2.png" width="400" height="417" vspace="10" hspace="20" align="right">Сетка линий, изображённая на рисунке, состоит из концентрических окружностей с радиусами 1, 2, 3, 4,... и центром в<nobr>точке <i>О</i>,</nobr><nobr>прямой <i>l</i>,</nobr>проходящей через<nobr>точку <i>О</i></nobr>, и всевозможных касательных к окружностям,<nobr>параллельных <i>l</i>.</nobr>Вся плоскость разбита этими линиями на клетки, которые раскрашены в шахматном порядке. В цепочке точек, показанных на рисунке, каждые две соседние точки являются противоположными вершинами тёмной клетки. Докажите, что...
<img align="RIGHT" src="/storage/problem-media/73602/problem_73602_img_2.gif">Ювелиру заказали золотое кольцо<nobr>шириной <i>h</i>,</nobr>имеющее форму тела, ограниченного поверхностью шара с<nobr>центром <i>О</i></nobr>и поверхностью цилиндра<nobr>радиусом <i>r</i>,</nobr>ось которого проходит через<nobr>точку <i>О</i>.</nobr>Мастер сделал такое колечко, но<nobr>выбрал <i>r</i></nobr>слишком маленьким. Сколько золота ему придётся добавить, если<i>r</i>нужно увеличить в<nobr><i>k</i> раз,</nobr>а<nobr>ширину <i>h</i></nobr>оставить прежней?
Вот несколько примеров, когда сумма квадратов<nobr><i>k</i> последовательных</nobr>натуральных чисел равна сумме квадратов<nobr><i>k</i> – 1</nobr>следующих натуральных чисел:3<sup>2</sup> + 4<sup>2</sup> = 5<sup>2</sup>, 36<sup>2</sup> + 37<sup>2</sup> + 38<sup>2</sup> + 39<sup>2</sup> + 40<sup>2</sup> = 41<sup>2</sup> + 42<sup>2</sup> + 43<sup>2</sup> + 44<sup>2</sup>, 55<sup>2</sup> + 56<sup>2</sup> + 57<sup>2</sup> + 58<sup>2</sup> + 59<sup>2</sup> + 60<sup>2</sup> = 61<sup>2</sup> + 62<sup>2</sup> + 63...