Докажем, что такое множество может содержать только три точки (разумеется, предполагая, что оно содержит более одной). Обозначим это множество буквой Γ.

Пусть A и B – две точки множества Γ , расстояние между которыми наибольшее. По условию, Γ содержит такую точку C , что треугольник ABC равносторонний: AB=BC=AC=d .

Пусть P – еще одна точка, принадлежащая множеству Γ . Поскольку расстояние между точками P и A не превосходит d , точка P должна лежать внутри круга радиуса d с центром A . Точно так же она должна лежать и внутри кругов радиуса d с центрами B и C . Таким образом, множество Γ не выходят за пределы общей части этих трех кругов – криволинейного "треугольника" T (рис.1).

Далее, вместе с точками P и A множеству Γ должна принадлежать одна из двух точек Q и R – вершин равносторонних треугольников APQ и APR , т.е. точек, получающихся из P поворотом на60^o (в ту или другую сторону) вокруг A (рис.2). Для того чтобы точка Q лежала внутри T , нужно, чтобы точка P лежала в пределах голубого "лепестка" AB ; действительно, если повернуть треугольник T вокруг точки A на60^o против часовой стрелки, то точки лепестка AB и только они не выйдут за пределы T . Точно так же, для того чтобы точка R лежала внутри T , нужно, чтобы точка P лежала в пределах голубого "лепестка" AC . Итак, мы доказали, что любая точка P множества Γ должна лежать в пределах множества T_A , состоящего из двух голубых лепестков AB и AC с общей вершиной A . Но точно так же доказывается, что Γ заключено в пределах множества T_B (рис.3) и T_C (рис.4), а общая часть трех множеств T_A , T_B и T_C состоит только из трех точек A , B и C . Следовательно, никакая другая точка P не может принадлежать множеству Γ.

В нашем решении мы пользовались только тем, что в множестве Γ можно указать две точки, расстояние между которыми максимально. Для множества Γ , состоящего из конечного числа точек, это, разумеется, так. Однако утверждение задачи остается верным, если наложить на множество Γ более слабое условие – условие ограниченности. Для решения задачи в этом случае необходимы дополнительные рассуждения: их без труда смогут провести те, кто владеет первоначальными понятиями топологии точечных множеств на плоскости, например, в объеме книги: Н.Стинрод и У.Чинн "Первые понятия топологии" ("Мир", популярная серия "Современная математика"). Заметим, что от условия ограниченности отказаться уже нельзя.

Ответ задачи отсутствует