Решение 1:

  Воспользуемся известным тождеством   tg α + tg (α + 60°) + tg (α – 60°) = 3 tg 3α   (его можно проверить, выразив обе части через tg α). Из него следует, что  tg 1° + tg 61° + tg 121° = tg 1° + tg(1° + 60°) + tg(1° – 60°) = 3 tg 3°,  tg 5° + tg 65° + tg 125° = 3 tg 15°,  и т. д., поэтому вся сумма равна  3(tg 3° + tg 15° + ... + tg 171°).

  Аналогично разбив полученную сумму на "тройки", получим, что она равна

после чего остается найти сумму  tg 9° + сtg 9° – сtg 27° – tg 27° =

Решение 2:   Заметим, что если  z = cos 2φ + i sin 2φ,  то     Нам нужно найти сумму 45 слагаемых вида     Поскольку числа

  являются корнями уравнения  z⁴⁵ = i,  то корнями уравнения  (1 – z)⁴⁵ = i(1 + z)⁴⁵  являются числа, удовлетворяющие соотношениям     то есть числа  

  После приведения подобных членов последнее уравнение записывается в виде  (1 + i)z⁴⁵ – 45(1 – i)z⁴⁴ + … = 0,  и по теореме Виета сумма его корней равна    

  Искомая сумма получается из этой делением на  – i.

Ответ задачи отсутствует