Из условий1° и2° следует коммутативность: подставив в1° a вместо b, получим, что для любых a и c

a(ac) = a(ca),

а отсюда следует, согласно2°, что a*c = c*a.

Из условия 1° и коммутативности следует ассоциативность: для любых a, b и c, согласно 1°,

a(bc) = b(ca) = c(a b)

и, пользуясь коммутативностью, получаем

a(bc) = c(ab) = (ab)c.

Задача решена. Условие3°, как видим, оказалось лишним. Разумеется, можно было использовать его вместо2°. Если условие1° выполнено, то каждое из условий2° и3° следует из другого.

Мы видели, что из 1° и коммутативности следует ассоциативность. Конечно, если операция коммутативна и ассоциативна, для нее верно 1°. Однако из ассоциативности и условия 1° коммутативность не следует (т.е. без условий 2° или 3° в доказательстве коммутативности обойтись нельзя).

Приведем пример, подтверждающий это: пусть множество состоит из четырех элементов 0, 1, 2, 3 и операция определена так: 12 = 3, и для любой другой пары элементов ab = 0 (в частности, 21 = 0); в этом примере (ab)c = a(bc) = 0 для любых трех a, b и c.

Попробуйте придумать пример, доказывающий, что из одного условия 1° не следует ассоциативность.

Ответ задачи отсутствует