Пусть S(N) – сумма цифр числа N. Нам будут нужны следующие свойства функции S(N):

    1)  S(A + B) ≤ S(A) + S(B);

    2)  S(A₁ + A₂ + ... + A_n) ≤ S(A₁) + S(A₂) + ... + S(A_n);

    3)  S(nA) ≤ nS(A);

    4)   S(AB) ≤ S(A)S(B);

  Чтобы убедиться в справедливости свойства 1), достаточно представить себе, что числа A и B складываются "столбиком". Свойство 2) получается из 1) индукцией. 3) – частный случай 2). Если представить себе, что A умножается на B "столбиком" и к каждой цифре числа В применить 3), то получится 4).   а) Заметим, что  S(8·125) = S(1000) = 1.  Отсюда  S(N) = S(1000N) = S(125·8N) ≤ S(125)S(8N) = 8S(8N).   б) То же рассуждение годится для любого числа  k = 2^r5^q.  Обозначим    и докажем, что   ≥ c_k  для любого N (при  N = 2^q5^r  это неравенство превращается в равенство, поскольку  S(kN) = S(10^r+q) = 1).  Для любого N     что и требовалось доказать.

  Докажем теперь, что для чисел k вида 2^r5^qQ, где Q взаимно просто с 10  (Q > 1),  отношение    может быть меньше любого заданного  ε > 0,  то есть требуемого положительного числа c_k не существует.

  Согласно замечанию к задаче 173597 существует число вида  10^m – 1  (состоящее из m девяток), делящееся на Q.

  Пусть  10^m − 1 = QR  и n – любое натуральное число. Тогда  10^mn − 1  – число, состоящее из mn девяток, – делится на Q и частное

R_n = R(10^m(n–1) + 10^m(n–2) + ... + 10^m + 1).  Теперь заметим, что у числа  Q(R_n + 1) = QR_n + Q = 10^mn + Q – 1  сумма цифр при любом n равна S(Q), а сумма цифр числа  R_n + 1  не меньше  (n – 1)S(R).  Таким образом, выбрав n достаточно большим и взяв  N = R_n + 1,  мы получим, что  

б) Только для  k = 2^r5^q,  при этом    .