Олимпиадные задачи из источника «выпуск 10»
выпуск 10
Назада) Дан выпуклый многоугольник <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>...<i>A<sub>n</sub></i>. На стороне <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub> взяты точки <i>B</i><sub>1</sub> и <i>D</i><sub>2</sub>, на стороне <i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>3</sub> – точки <i>B</i><sub>2</sub> и <i>D</i><sub>3</sub>, ..., на стороне <i>A</i><sub><i>n</i></sub><i>A</i><sub>1</sub> – точки <i>B</i><sub><i>n</i></sub> и <i>D</i><sub&g...
Докажите, что если для чисел <i>p</i><sub>1</sub>, <i>p</i><sub>2</sub>, <i>q</i><sub>1</sub> и <i>q</i><sub>2</sub> выполнено неравенство (<i>q</i><sub>1</sub> – <i>q</i><sub>2</sub>)² + (<i>p</i><sub>1</sub> – <i>p</i><sub>2</sub>)(<i>p</i><sub>1</sub><i>q</i><sub>2</sub> – <i>p</i><sub>2</sub><i>q</i><sub>1</sub>) < 0, то квадратные трёхчлены
<i>x</i>² + <i>p</i><sub>1</sub><i>x</i> + <i>q</i><sub>1</sub> и <i>x</i&...
На бесконечном листе клетчатой бумаги <i>N</i>клеток окрашено в черный цвет. Докажите, что из этого листа можно вырезать конечное число квадратов так, что будут выполняться два условия: 1) все черные клетки лежат в вырезанных квадратах; 2) в любом вырезанном квадрате <i>K</i>площадь черных клеток составит не менее 1/5 и не более 4/5 площади <i>K</i>.
а) Докажите, что любая прямая, делящая пополам площадь и периметр треугольника, проходит через центр вписанной окружности.
б) Докажите аналогичное утверждение для любого описанного многоугольника.
В вершинах правильного 12-угольника расставлены числа 1 и –1 так, что во всех вершинах, кроме одной, стоят единицы. Разрешается изменять знак в любых <i>k</i> подряд идущих вершинах. Можно ли такими операциями добиться того, чтобы единственное число –1 сдвинулось в соседнюю с исходной вершину, если а) <i>k</i> = 3; б) <i>k</i> = 4; в) <i>k</i> = 6.