Олимпиадные задачи из источника «Прасолов В.В., Задачи по планиметрии» для 4-7 класса - сложность 1 с решениями

Докажите, что если в треугольнике медиана и биссектриса совпадают, то треугольник равнобедренный.

В. треугольнике длины двух сторон равны 3, 14 и 0, 67. Найдите длину третьей стороны, если известно, что она является целым числом.

Даны отрезки, длины которых равны <i>a</i>,<i>b</i>и <i>c</i>. Постройте отрезок длиной: a) <i>ab</i>/<i>c</i>; б) $\sqrt{ab}$.

Постройте прямую, проходящую через данную точку и касающуюся данной окружности.

Постройте окружность с данным центром, касающуюся данной окружности.

Постройте прямоугольный треугольник по катету и гипотенузе.

Постройте треугольник <i>ABC</i>по стороне <i>a</i>, высоте <i>h</i>_aи углу <i>A</i>.

На окружности фиксирована точка <i>A</i>. Найдите ГМТ <i>X</i>, делящих хорды с концом <i>A</i>в отношении 1 : 2, считая от точки <i>A</i>.

Найдите геометрическое место таких точек <i>X</i>, что касательные, проведенные из <i>X</i>к данной окружности, имеют данную длину.

Дан треугольник <i>ABC</i>. Найдите ГМТ <i>X</i>, удовлетворяющих неравенствам <i>AX</i>$\leq$<i>BX</i>$\leq$<i>CX</i>.

Найдите геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых.

а) Найдите ГМТ, равноудаленных от двух параллельных прямых. б) Найдите ГМТ, равноудаленных от двух пересекающихся прямых.

а) Докажите, что сумма углов при вершинах выпуклого <i>n</i>-угольника равна (<i>n</i>- 2)^.180^<tt>o</tt>. б) Выпуклый <i>n</i>-угольник разрезан непересекающимися диагоналями на треугольники. Докажите, что количество этих треугольников равно <i>n</i>- 2.

На сторонах <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>треугольника <i>ABC</i>взяты точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁, причем <i>AC</i>₁=<i>AB</i>₁,<i>BA</i>₁=<i>BC</i>₁и <i>CA</i>₁=<i>CB</i>₁. Докажите, что <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁ — точки касания вписанной окружности со сторонами.

На высоте <i>AH</i> треугольника <i>ABC</i> взята точка <i>M</i>. Докажите, что  <i>AB</i>² – <i>AC</i>² = <i>MB</i>² – <i>MC</i>².

Пусть <i>a</i>и <i>b</i> — длины катетов прямоугольного треугольника, <i>c</i> — длина его гипотенузы. Докажите, что:

а) радиус вписанной окружности треугольника равен (<i>a</i>+<i>b</i>-<i>c</i>)/2;

б) радиус окружности, касающейся гипотенузы и продолжений катетов, равен (<i>a</i>+<i>b</i>+<i>c</i>)/2.

Две окружности пересекаются в точках <i>A</i>и <i>B</i>. Точка <i>X</i>лежит на прямой <i>AB</i>, но не на отрезке <i>AB</i>. Докажите, что длины всех касательных, проведенных из точки <i>X</i>к окружностям, равны.

Из произвольной точки <i>M</i>, лежащей внутри данного угла с вершиной <i>A</i>, опущены перпендикуляры <i>MP</i>и <i>MQ</i>на стороны угла. Из точки <i>A</i>опущен перпендикуляр <i>AK</i>на отрезок <i>PQ</i>. Докажите, что $\angle$<i>PAK</i>=$\angle$<i>MAQ</i>.

Две окружности пересекаются в точках <i>M</i>и <i>K</i>. Через <i>M</i>и <i>K</i>проведены прямые <i>AB</i>и <i>CD</i>соответственно, пересекающие первую окружность в точках <i>A</i>и <i>C</i>, вторую в точках <i>B</i>и <i>D</i>. Докажите, что <i>AC</i>||<i>BD</i>.

Вершина <i>A</i>остроугольного треугольника <i>ABC</i>соединена отрезком с центром <i>O</i>описанной окружности. Из вершины <i>A</i>проведена высота <i>AH</i>. Докажите, что $\angle$<i>BAH</i>=$\angle$<i>OAC</i>.

Биссектриса внешнего угла при вершине <i>C</i>треугольника <i>ABC</i>пересекает описанную окружность в точке <i>D</i>. Докажите, что <i>AD</i>=<i>BD</i>.

Центр вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>симметричен центру описанной окружности относительно стороны <i>AB</i>. Найдите углы треугольника <i>ABC</i>.

а) Из точки<i>A</i>, лежащей вне окружности, выходят лучи<i>AB</i>и<i>AC</i>, пересекающие эту окружность. Докажите, что величина угла<i>BAC</i>равна полуразности угловых величин дуг окружности, заключенных внутри этого угла.б) Вершина угла <i>BAC</i> расположена внутри окружности. Докажите, что величина угла <i>BAC</i> равна полусумме угловых величин дуг окружности, заключенных внутри угла <i>BAC</i> и внутри угла, симметричного ему относительно вершины <i>A</i>.

На клетчатом листе закрасили 25 клеток. Может ли каждая из них иметь нечётное число закрашенных соседей?