Олимпиадные задачи из источника «глава 9. Геометрические неравенства» для 9-11 класса - сложность 3 с решениями

Докажите, что периметр остроугольного треугольника не меньше 4<i>R</i>.

Остроугольный треугольник расположен внутри окружности. Докажите, что ее радиус не меньше радиуса описанной окружности треугольника. Верно ли это утверждение для тупоугольного треугольника?

В некотором лесу расстояние между каждыми двумя деревьями не превосходит разности их высот. Все деревья имеют высоту меньше 100 м.

Докажите, что этот лес можно огородить забором длиной 200 м.

В лесу растут деревья цилиндрической формы. Связисту нужно протянуть провод из точки <i>A</i>в точку <i>B</i>, расстояние между которыми равно <i>l</i>. Докажите, что для этой цели ему достаточно куска провода длиной 1, 6<i>l</i>.

Докажите, что из сторон выпуклого многоугольника периметра <i>P</i>можно составить два отрезка, длины которых отличаются не более чем на <i>P</i>/3.

Длины сторон выпуклого шестиугольника <i>ABCDEF</i>меньше 1. Докажите, что длина одной из диагоналей <i>AD</i>,<i>BE</i>,<i>CF</i>меньше 2.

Докажите, что если стороны выпуклого шестиугольника <i>ABCDEF</i>равны 1, то радиус описанной окружности одного из треугольников <i>ACE</i>и <i>BDF</i>не превосходит 1.

Внутри правильного шестиугольника со стороной 1 взята точка <i>P</i>. Докажите, что расстояния от точки <i>P</i>до некоторых трех вершин шестиугольника не меньше 1.

Пусть <i>ABCDE</i> — выпуклый пятиугольник, вписанный в окружность радиуса 1, причем <i>AB</i>=<i>a</i>,<i>BC</i>=<i>b</i>,<i>CD</i>=<i>c</i>,<i>DE</i>=<i>d</i>,<i>AE</i>= 2. Докажите, что<div align="CENTER"> <i>a</i>² + <i>b</i>² + <i>c</i>² + <i>d</i>² + <i>abc</i> + <i>bcd</i> < 4. </div>

В параллелограмм <i>P</i>₁ вписан параллелограмм <i>P</i>₂, а в параллелограмм <i>P</i>₂ вписан параллелограмм <i>P</i>₃, стороны которого параллельны сторонам <i>P</i>₁. Докажите, что длина хотя бы одной из сторон <i>P</i>₁ не превосходит удвоенной длины параллельной ей стороны <i>P</i>₃.

Докажите, что расстояние от одной из вершин выпуклого четырехугольника до противоположной диагонали не превосходит половины этой диагонали.

Диагонали делят выпуклый четырехугольник <i>ABCD</i>на четыре треугольника. Пусть <i>P</i> — периметр четырехугольника <i>ABCD</i>, <i>Q</i> — периметр четырехугольника, образованного центрами вписанных окружностей полученных треугольников. Докажите, что <i>PQ</i>> 4<i>S</i>_ABCD.

Пусть <i>M</i>и <i>N</i> — середины сторон <i>BC</i>и <i>CD</i>выпуклого четырехугольника <i>ABCD</i>. Докажите, что <i>S</i>_ABCD< 4<i>S</i>_AMN.

Дан четырёхугольник <i>ABCD</i>. Докажите, что  <i>AC·BD ≤ AB·CD + BC·AD</i>.

Внутри квадрата со стороной 1 расположена несамопересекающаяся ломаная длины 1000. Докажите, что найдется прямая, параллельная одной из сторон квадрата, пересекающая эту ломаную по крайней мере в 500 точках.

Внутри квадрата со стороной 1 даны<i>n</i>точек. Докажите, что: а) площадь одного из треугольников с вершинами в этих точках или вершинах квадрата не превосходит 1/(2(<i>n</i>+ 1)); б) площадь одного из треугольников с вершинами в этих точках не превосходит 1/(<i>n</i>- 2).

а) Точки <i>B</i>,<i>C</i>и <i>D</i>делят (меньшую) дугу <i>AE</i>окружности на четыре равные части. Докажите, что <i>S</i>_ACE< 8<i>S</i>_BCD. б) Из точки <i>A</i>проведены касательные <i>AB</i>и <i>AC</i>к окружности. Через середину <i>D</i>(меньшей) дуги <i>BC</i>проведена касательная, пересекающая отрезки <i>AB</i>и <i>AC</i>в точках <i>M</i>и <i>N</i>. Докажите, что <i>S</i>_BCD< 2<i>S</i>_MAN.

Внутри треугольника <i>ABC</i>взята точка <i>M</i>. Докажите, что 4<i>S</i>$\leq$<i>AM</i>^.<i>BC</i>+<i>BM</i>^.<i>AC</i>+<i>CM</i>^.<i>AB</i>, где <i>S</i> — площадь треугольника <i>ABC</i>.

Докажите, что среднее арифметическое длин сторон произвольного выпуклого многоугольника меньше среднего арифметического длин всех его диагоналей.