Олимпиадные задачи из источника «глава 29. Аффинные преобразования» для 9 класса

Найдите барицентрические координаты точки Штейнера.

Найдите уравнения эллипсов Штейнера в барицентрических координатах.

Точки<i>Z</i>и<i>W</i>изогонально сопряжены относительно правильного треугольника<i>ABC</i>с центром<i>O</i>;<i>M</i> — середина отрезка<i>ZW</i>. Докажите, что$\angle$<i>AOZ</i>+$\angle$<i>AOW</i>+$\angle$<i>AOM</i>=<i>n</i>$\pi$(углы ориентированы).

Точки<i>Z</i>и<i>W</i>изогонально сопряжены относительно правильного треугольника. При инверсии относительно описанной окружности точки<i>Z</i>и<i>W</i>переходят в<i>Z</i>и<i>W</i>. Докажите, что середина отрезка<i>Z</i><i>W</i>лежит на вписанной окружности.

Вершины треугольника соответствуют комплексным числам<i>a</i>,<i>b</i>и<i>c</i>, лежащим на единичной окружности с центром в нуле. Докажите, что если точки<i>z</i>и<i>w</i>изогонально сопряжены, то<i>z</i>+<i>w</i>+<i>abc</i>$\bar{z}$$\bar{w}$=<i>a</i>+<i>b</i>+<i>c</i>(Морли).

На сторонах выпуклого<i>n</i>-угольника внешним образом построены правильные<i>n</i>-угольники. Докажите, что их центры образуют правильный<i>n</i>-угольник тогда и только тогда, когда исходный<i>n</i>-угольник аффинно правильный.

На сторонах аффинно правильного многоугольника<i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A</i>_nс центром<i>O</i>внешним образом построены квадраты<i>A</i>_{j + 1}<i>A</i>_j<i>B</i>_j<i>C</i>_{j + 1}(<i>j</i>= 1,...,<i>n</i>). Докажите, что отрезки<i>B</i>_j<i>C</i>_jи<i>OA</i>_jперпендикулярны, а их отношение равно2$\bigl($1 - cos(2$\pi$/<i>n</i>)$\bigr)$.

Дан не равносторонний треугольник<i>ABC</i>. Точки<i>A</i>₁,<i>B</i>₁и<i>C</i>₁выбраны так, что треугольники<i>BA</i>₁<i>C</i>,<i>CB</i>₁<i>A</i>и<i>AC</i>₁<i>B</i>собственно подобны. Докажите, что треугольник<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁равносторонний тогда и только тогда, когда указанные подобные треугольники являются равнобедренными треугольниками с углом120^<tt>o</tt>при вершинах<i>A</i&gt...

а) Даны точка<i>X</i>и треугольник<i>ABC</i>. Докажите, что<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{XB}{b}}$^.$\displaystyle {\frac{XC}{c}}$ + $\displaystyle {\frac{XC}{c}}$^.$\displaystyle {\frac{XA}{a}}$ + $\displaystyle {\frac{XA}{a}}$^.$\displaystyle {\frac{XB}{b}}$$\displaystyle \ge$1, </div>где<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i> — длины сторон треугольника. б) На сторонах<i>BC</i>,<i>CA</i>,<i>AB</i>взяты точки<i>A</i>₁,<i>B</i>₁,<i>C</i>₁. Пусть<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c<...

Во вписанном четырёхугольнике<i>ABCD</i>прямая Симсона точки<i>A</i>относительно треугольника<i>BCD</i>перпендикулярна прямой Эйлера треугольника<i>BCD</i>. Докажите, что прямая Симсона точки<i>B</i>относительно треугольника<i>ACD</i>перпендикулярна прямой Эйлера треугольника<i>ACD</i>.

Даны треугольник<i>ABC</i>и прямая<i>l</i>, проходящая через центр<i>O</i>вписанной окружности. Обозначим через<i>A</i>₁(соответственно<i>B</i>₁,<i>C</i>₁) основание перпендикуляра, опущенного на прямую<i>l</i>из точки<i>A</i>(соответственно<i>B</i>,<i>C</i>), а через<i>A</i>₂(соответственно<i>B</i>₂,<i>C</i>₂) обозначим точку вписанной окружности, диаметрально противоположную точке касания со стороной<i>BC</i>(соответственно<i>CA</i>,<i>AB</i>). Докажите, что прямы...

Докажите, что если<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>и<i>d</i> — длины последовательных сторон выпуклого четырехугольника<i>ABCD</i>, а<i>m</i>и<i>n</i> — длины его диагоналей, то<i>m</i>²<i>n</i>²=<i>a</i>²<i>c</i>²+<i>b</i>²<i>d</i>²- 2<i>abcd</i>cos(<i>A</i>+<i>C</i>) (Бретшнейдер).

а) Докажите, что если<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>и<i>D</i> — произвольные точки плоскости, то<i>AB</i>^.<i>CD</i>+<i>BC</i>^.<i>AD</i>$\ge$<i>AC</i>^.<i>BD</i>(<i>неравенство Птолемея</i>). б) Докажите, что если<i>A</i>₁,<i>A</i>₂, ...<i>A</i>₆ — произвольные точки плоскости, то<div align="CENTER"><!-- MATH \begin{multline*} A_1A_4\cdot A_2A_5\cdot A_3A_6\le A_1A_2\cdot A_3A_6\cdot A_4A_5+A_1A_2\cdot A_3A_4\cdot A_5A_6+{}\\vspace{1\relax } +A_2A_3\cdot A_1A_4\cdot A_5...

Докажите, что точки, соответствующие комплексным числам<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>, лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда число${\frac{a-b}{a-c}}$, называемое<i>простым отношением</i>трех комплексных чисел, вещественно. б) Докажите, что точки, соответствующие комплексным числам<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i>, лежат на одной окружности (или на одной прямой) тогда и только тогда, когда число${\frac{a-c}{a-d}}$:${\frac{b-c}{b-d}}$, называемое<i>двойным отношением</i>четырех комплексных чисел, вещественно.

Пусть точки<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>являются образами точек<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>при инверсии. Докажите, что: а)${\frac{AC}{AD}}$:${\frac{BC}{BD}}$=${\frac{A^C^}{A^D^}}$:${\frac{B^C^}{B^D^}}$; б)$\angle$(<i>DA</i>,<i>AC</i>) -$\angle$(<i>DB</i>,<i>BC</i>) =$\angle$(<i>D</i><i>B</i>,<i>B</i><i>C</i>) -$\angle$(<i>D</i>^*<i>A</i><sup&gt...

а) Пусть$\varepsilon$=${\frac{1}{2}}$+${\frac{i\sqrt{3}}{2}}$. Докажите, что точки<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>являются вершинами правильного треугольника тогда и только тогда, когда<i>a</i>+$\varepsilon^{2}{}$<i>b</i>+$\varepsilon^{4}{}$<i>c</i>= 0 или<i>a</i>+$\varepsilon^{4}{}$<i>b</i>+$\varepsilon^{2}{}$<i>c</i>= 0. б) Докажите, что точки<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>являются вершинами правильного треугольника тогда и только тогда, когда<i>a</i>²+<i>b</i>²+<i>c</i>²=<i>ab</i>+<i>bc</i>+<i>ac</i>.

а) Докажите, что все окружности и прямые задаются уравнениями вида<div align="CENTER"> <i>Az</i>$\displaystyle \bar{z}$ + <i>cz</i> + $\displaystyle \bar{c}$$\displaystyle \bar{z}$ + <i>D</i> = 0, </div>где<i>A</i>и<i>D</i> — вещественные числа, а<i>c</i> — комплексное число. Наоборот, докажите, что любое уравнение такого вида задает либо окружность, либо прямую, либо точку, либо пустое множество. б) Докажите, что при инверсии окружности и прямые переходят в окружности и прямые.

Докажите, что прямая, проходящая через точки<i>a</i>₁и<i>a</i>₂, задаётся уравнением<div align="CENTER"> <i>z</i>($\displaystyle \bar{a}{1}^{}$ - $\displaystyle \bar{a}{2}^{}$) - $\displaystyle \bar{z}$(<i>a</i>₁ - <i>a</i>₂) + (<i>a</i>₁$\displaystyle \bar{a}{2}^{}$ - $\displaystyle \bar{a}{1}^{}$<i>a</i>₂) = 0. </div>

Пусть<i>a</i>,<i>b</i>и<i>c</i>— комплексные числа, лежащие на единичной окружности с центром в нуле. Докажите, что комплексное число${\frac{1}{2}}$(<i>a</i>+<i>b</i>+<i>c</i>-$\bar{a}$<i>bc</i>) соответствует основанию высоты, опущенной из вершины<i>a</i>на сторону<i>bc</i>.

Пусть<i>a</i> — комплексное число, лежащее на единичной окружности<i>S</i>с центром в нуле,<i>t</i> — вещественное число (точка, лежащая на вещественной оси). Пусть, далее,<i>b</i> — отличная от<i>a</i>точка пересечения прямой<i>at</i>с окружностью<i>S</i>. Докажите, что$\bar{b}$= (1 -<i>ta</i>)(<i>t</i>-<i>a</i>).

Пусть<i>a</i>и<i>b</i> — комплексные числа, лежащие на окружности с центром в нуле,<i>u</i> — точка пересечения касательных к этой окружности в точках<i>a</i>и<i>b</i>. Докажите, что<i>u</i>= 2<i>ab</i>/(<i>a</i>+<i>b</i>).

Докажите, что треугольники<i>abc</i>и<i>a'b'c'</i>собственно подобны, тогда и только тогда, когда<div align="CENTER"> <i>a'</i>(<i>b</i> - <i>c</i>) + <i>b'</i>(<i>c</i> - <i>a</i>) + <i>c'</i>(<i>a</i> - <i>b</i>) = 0. </div>

Докажите, что если треугольники<i>abc</i>и<i>a'b'c'</i>на комплексной плоскости собственно подобны, то<div align="CENTER"> (<i>b</i> - <i>a</i>)/(<i>c</i> - <i>a</i>) = (<i>b'</i> - <i>a'</i>)/(<i>c'</i> - <i>a'</i>). </div>

Пусть<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i> — комплексные числа, причем углы<i>a</i>0<i>b</i>и<i>c</i>0<i>d</i>равны и противоположно ориентированы. Докажите, что тогда$\Im$<i>abcd</i>= 0.

На сторонах<i>AB</i>,<i>BC</i>и <i>AC</i>треугольника<i>ABC</i>даны точки <i>M</i>,<i>N</i>и <i>P</i>соответственно. Докажите: а) если точки <i>M</i>₁,<i>N</i>₁и <i>P</i>₁симметричны точкам <i>M</i>,<i>N</i>и <i>P</i>относительно середин соответствующих сторон, то<i>S</i>_MNP=<i>S</i>_M₁N₁P₁. б) если <i>M</i>₁,<i>N</i>₁и <i>P</i>₁ ...