Задача
а) Пусть$\varepsilon$=${\frac{1}{2}}$+${\frac{i\sqrt{3}}{2}}$. Докажите, что точкиa,b,cявляются вершинами правильного треугольника тогда и только тогда, когдаa+$\varepsilon^{2}{}$b+$\varepsilon^{4}{}$c= 0 илиa+$\varepsilon^{4}{}$b+$\varepsilon^{2}{}$c= 0. б) Докажите, что точкиa,b,cявляются вершинами правильного треугольника тогда и только тогда, когдаa2+b2+c2=ab+bc+ac.
Решение
а) Треугольник с вершинамиa,b,cправильный тогда и только тогда, когда
c = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$(a + b)±$\displaystyle {\frac{i\sqrt{3}}{2}}$(a - b) = $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{2}\pm\frac{i\sqrt{3}}{2}}\right.$$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$±$\displaystyle {\frac{i\sqrt{3}}{2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{2}\pm\frac{i\sqrt{3}}{2}}\right)$a + $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{2}\mp\frac{i\sqrt{3}}{2}}\right.$$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \mp$$\displaystyle {\frac{i\sqrt{3}}{2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{2}\mp\frac{i\sqrt{3}}{2}}\right)$b,
т.е.c=$\varepsilon$a+$\bar{\varepsilon}$bилиc=$\bar{\varepsilon}$a+$\varepsilon$b. Эти равенства
эквивалентны равенствамa+$\varepsilon^{2}_{}$b+$\varepsilon^{4}_{}$c= 0 иa+$\varepsilon^{4}_{}$b+$\varepsilon^{2}_{}$c= 0, поскольку$\varepsilon$$\bar{\varepsilon}$= 1 и$\varepsilon^{3}_{}$= - 1.
Замечание.
Еслиa+$\varepsilon^{2}_{}$b+$\varepsilon^{4}_{}$c= 0, то вершиныabcобходятся против часовой стрелки,
а еслиa+$\varepsilon^{4}_{}$b+$\varepsilon^{2}_{}$c= 0, то по часовой стрелке.
б) Согласно задаче а) точкиa,bиcявляются вершинами правильного
треугольника тогда и только тогда, когда| 0 | = (a + $\displaystyle \varepsilon^{2}_{}$b + $\displaystyle \varepsilon^{4}_{}$c)(a + $\displaystyle \varepsilon^{4}_{}$b + $\displaystyle \varepsilon^{2}_{}$c) = | |
| = a2 + b2 + c2 + ($\displaystyle \varepsilon^{2}_{}$ + $\displaystyle \varepsilon^{4}_{}$)(ab + bc + ac). |
Остаётся доказать, что$\varepsilon^{2}_{}$+$\varepsilon^{4}_{}$= - 1. Для этого заметим, что(1 -$\varepsilon^{2}_{}$)(1 +$\varepsilon^{2}_{}$+$\varepsilon^{4}_{}$) = 1 -$\varepsilon^{6}_{}$= 0 и$\varepsilon^{2}_{}$$\ne$1.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет