Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Решение задач при помощи аффинных преобразований»
параграф 2. Решение задач при помощи аффинных преобразований
НазадНа сторонах<i>AB</i>,<i>BC</i>и <i>AC</i>треугольника<i>ABC</i>даны точки <i>M</i>,<i>N</i>и <i>P</i>соответственно. Докажите: а) если точки <i>M</i><sub>1</sub>,<i>N</i><sub>1</sub>и <i>P</i><sub>1</sub>симметричны точкам <i>M</i>,<i>N</i>и <i>P</i>относительно середин соответствующих сторон, то<i>S</i><sub>MNP</sub>=<i>S</i><sub>M<sub>1</sub>N<sub>1</sub>P<sub>1</sub></sub>. б) если <i>M</i><sub>1</sub>,<i>N</i><sub>1</sub>и <i>P</i><sub>1</sub> ...
В параллелограмме<i>ABCD</i>точки <i>A</i><sub>1</sub>,<i>B</i><sub>1</sub>,<i>C</i><sub>1</sub>,<i>D</i><sub>1</sub>лежат соответственно на сторонах<i>AB</i>,<i>BC</i>,<i>CD</i>,<i>DA</i>. На сторонах<i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub>,<i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>,<i>C</i><sub>1</sub><i>D</i><sub>1</sub>,<i>D</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>1</sub>четырехугольника<i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub&...
В трапеции<i>ABCD</i>с основаниями<i>AD</i>и <i>BC</i>через точку <i>B</i>проведена прямая, параллельная стороне<i>CD</i>и пересекающая диагональ<i>AC</i>в точке <i>P</i>, а через точку <i>C</i> — прямая, параллельная стороне<i>AB</i>и пересекающая диагональ<i>BD</i>в точке <i>Q</i>. Докажите, что прямая<i>PQ</i>параллельна основаниям трапеции.
Дан треугольник<i>ABC</i>. Пусть <i>O</i> — точка пересечения его медиан, а <i>M</i>,<i>N</i>и <i>P</i> — точки сторон<i>AB</i>,<i>BC</i>и <i>CA</i>, делящие эти стороны в одинаковых отношениях (т. е.<i>AM</i>:<i>MB</i>=<i>BN</i>:<i>NC</i>=<i>CP</i>:<i>PA</i>=<i>p</i>:<i>q</i>). Докажите, что: а)<i>O</i> — точка пересечения медиан треугольника<i>MNP</i>; б)<i>O</i> — точка пересечения медиан треугольника, образованного прямыми<i>AN</i>,<i>BP</i>и <i>CM</i>.
На сторонах<i>AB</i>,<i>BC</i>и <i>CD</i>параллелограмма<i>ABCD</i>взяты точки <i>K</i>,<i>L</i>и <i>M</i>соответственно, делящие эти стороны в одинаковых отношениях. Пусть <i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i> — прямые, проходящие через <i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>параллельно прямым<i>KL</i>,<i>KM</i>,<i>ML</i>соответственно. Докажите, что прямые <i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i>проходят через одну точку.
Через каждую вершину треугольника проведены две прямые, делящие противоположную сторону треугольника на три равные части. Докажите, что диагонали, соединяющие противоположные вершины шестиугольника, образованного этими прямыми, пересекаются в одной точке.