Олимпиадные задачи из источника «глава 25. Разрезания, разбиения, покрытия» для 3-9 класса - сложность 5 с решениями
глава 25. Разрезания, разбиения, покрытия
НазадДокажите, что к квадрату нельзя приложить более 8 не налегающих друг на друга квадратов.
Имеется неограниченное количество плиток в форме многоугольника<i>M</i>. Будем говорить, что из этих плиток можно сложить паркет, если ими можно покрыть круг сколь угодно большого радиуса так, чтобы не было ни просветов, ни перекрытий. а) Докажите, что если<i>M</i> — выпуклый<i>n</i>-угольник, где<i>n</i>$\ge$7, то паркет сложить нельзя. б) Приведите пример такого выпуклого пятиугольника с попарно непараллельными сторонами, что паркет сложить можно.
а) Можно ли квадрат6×6 замостить костями домино1×2 так, чтобы не было к швак, т. е. прямой, не разрезающей костей? б) Докажите, что любой прямоугольник<i>m</i>×<i>n</i>, где<i>m</i>и<i>n</i>больше 6 и<i>mn</i>четно, можно замостить костями домино так, чтобы не было к швак. в) Докажите, что прямоугольник6×8 можно замостить костями домино так, чтобы не было к швак.
На круглом столе радиуса<i>R</i>расположено без наложений<i>n</i>круглых монет радиуса<i>r</i>, причем больше нельзя положить ни одной монеты. Докажите, что<i>R</i>/<i>r</i>$\le$2$\sqrt{n}$+ 1.
Докажите, что любые<i>n</i>точек на плоскости всегда можно накрыть несколькими непересекающимися кругами так, что сумма их диаметров меньше<i>n</i>и расстояние между любыми двумя из них больше 1.
а) Квадрат со стороной 1 покрыт несколькими меньшими квадратами со сторонами, параллельными его сторонам. Докажите, что среди них можно выбрать непересекающиеся квадраты, сумма площадей которых не меньше 1/9. б) Площадь объединения нескольких кругов равна 1. Докажите, что из них можно выбрать несколько попарно непересекающихся кругов с общей площадью не менее 1/9.
Прямоугольник разрезан на прямоугольники, длина одной из сторон каждого из которых — целое число. Докажите, что длина одной из сторон исходного прямоугольника — целое число.
а) Докажите, что из пяти попарно различных по величине квадратов нельзя сложить прямоугольник. б) Докажите, что из шести попарно различных по величине квадратов нельзя сложить прямоугольник.
Квадратный лист бумаги разрезают прямой на две части. Одну из полученных частей разрезают на две части, и так делают несколько раз. Какое наименьшее число разрезаний нужно сделать, чтобы среди полученных частей оказалось 100 двадцатиугольников?
Можно ли разрезать правильный треугольник на 1000000 выпуклых многоугольников так, чтобы любая прямая имела общие точки не более чем с 40 из них?
Докажите, что выпуклый 22-угольник нельзя разрезать диагоналями на 7 пятиугольников.
Докажите, что семиугольник нельзя разрезать на выпуклые шестиугольники.
Части, на которые плоскость разрезана прямыми. раскрашены в красный и синий цвет так, что соседние части разного цвета (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/158307">27.1</a>). Пусть <i>a</i> -- количество красных частей,<i>b</i> — количество синих частей. Докажите, что<div align="CENTER"> <i>a</i>$\displaystyle \le$2<i>b</i> - 2 - $\displaystyle \sum$($\displaystyle \lambda$(<i>P</i>) - 2), </div>причем равенство достигается тогда и только тогда, когда красные области — треугольники и углы.
Докажите, что количество частей, на которые данные прямые разбивают плоскость, равно1 +<i>n</i>+$\sum$($\lambda$(<i>P</i>) - 1), причем среди этих частей 2<i>n</i>неограниченных.
Правильный восьмиугольник со стороной 1 разрезан на параллелограммы. Докажите, что среди них есть по крайней мере два прямоугольника, причем сумма площадей всех прямоугольников равна 2.
Докажите, что любой правильный 2<i>n</i>-угольник можно разрезать на ромбы.
Докажите, что если выпуклый многоугольник можно разрезать на центрально симметричные многоугольники, то он имеет центр симметрии.
Докажите, что следующие свойства выпуклого многоугольника <i>F</i>эквивалентны: 1) <i>F</i>имеет центр симметрии; 2) <i>F</i>можно разрезать на параллелограммы.
Разрежьте разносторонний треугольник на 7 равнобедренных, три из которых равны.
Разрежьте произвольный тупоугольный треугольник на 7 остроугольных.
Можно ли какой-нибудь невыпуклый 5-угольник разрезать на два равных 5-угольника?
Разрежьте квадрат на 8 остроугольных треугольников.
а) Докажите, что любой многоугольник можно разрезать на части и сложить из них прямоугольник со стороной 1. б) Даны два многоугольника равной площади. Докажите, что первый многоугольник можно разрезать на части и сложить из них второй.
Докажите, что любой прямоугольник можно разрезать на части и сложить из них прямоугольник со стороной 1.
Даны два параллелограмма равной площади с общей стороной. Докажите, что первый параллелограмм можно разрезать на части и сложить из них второй.