Рассмотрим выпуклый многоугольникA₁...A_n. Докажем, что каждое из свойств 1 и 2 эквивалентно свойству 3: "Для любого вектора$\overrightarrow{A_iA_{i+1}}$найдется вектор$\overrightarrow{A_jA_{j+1}}$= -$\overrightarrow{A_iA_{i+1}}$." Ясно, что из свойства 1 следует свойство 3. Докажем, что из свойства 3 следует свойство 1. Если выпуклый многоугольникA₁...A_nобладает свойством 3, тоn= 2mи $\overrightarrow{A_iA_{i+1}}$= -$\overrightarrow{A_{m+i}A_{m+i+1}}$. Пусть O_i — середина отрезкаA_iA_{m + i}. Так какA_iA_{i + 1}A_{m + i}A_{m + i + 1} — параллелограмм, тоO_i=O_{i + 1}. Поэтому все точки O_iсовпадают, и эта точка является центром симметрии многоугольника. Докажем, что из свойства 2 следует свойство 3. Пусть выпуклый многоугольник Fразрезан на параллелограммы. Нужно доказать, что для любой стороны многоугольника Fнайдется другая сторона, параллельная и равная ей. От каждой стороны многоугольника Fотходит цепочка параллелограммов, т. е. эта сторона как бы перемещается по ним параллельно, причем она может разбиваться на несколько частей (рис.). Так как у выпуклого многоугольника может быть еще только одна сторона, параллельная данной, то все разветвления цепочки упираются в одну и ту же сторону, причем ее длина не меньше длины стороны, из которой цепочка выходит. Мы можем выпустить цепочку параллелограммов как из первой стороны во вторую, так и из второй в первую, поэтому длины этих сторон равны. Остается доказать, что из свойства 3 следует свойство 2. Способ разрезания многоугольника с равными и параллельными противоположными сторонами указан на рис. После каждой такой операции получаем многоугольник с меньшим числом сторон, по-прежнему обладающий свойством 3, и проделываем с ним то же самое, пока не придем к параллелограмму.

Ответ задачи отсутствует