Олимпиадные задачи из источника «глава 22. Выпуклые и невыпуклые многоугольники» для 6-11 класса - сложность 5 с решениями

Числа$\alpha_{1}^{}$,...,$\alpha_{n}^{}$, сумма которых равна (<i>n</i>- 2)$\pi$, удовлетворяют неравенствам0 <$\alpha_{i}^{}$< 2$\pi$. Докажите, что существует<i>n</i>-угольник<i>A</i>₁...<i>A</i>_nс углами$\alpha_{1}^{}$,...,$\alpha_{n}^{}$при вершинах<i>A</i>₁,...<i>A</i>_n.

С невыпуклым несамопересекающимся многоугольником производятся следующие операции. Если он лежит по одну сторону от прямой<i>AB</i>, где <i>A</i>и <i>B</i> — несмежные вершины, то одна из частей, на которые контур многоугольника делится точками <i>A</i>и <i>B</i>, отражается относительно середины отрезка<i>AB</i>. Докажите, что после нескольких таких операций многоугольник станет выпуклым.

Чему равно наибольшее число острых углов в невыпуклом<i>n</i>-угольнике?

Дано несколько параллельных отрезков, причем для любых трех из них найдется прямая, их пересекающая. Докажите, что найдется прямая, пересекающая все отрезки.

Докажите, что внутри любого выпуклого семиугольника есть точка, не принадлежащая ни одному из четырехугольников, образованных четверками его соседних вершин.

а) Дан выпуклый многоугольник. Известно, что для любых трёх его сторон можно выбрать точку<i>O</i>внутри многоугольника так, что перпендикуляры, опущенные из точки<i>O</i>на эти три стороны, попадают на сами стороны, а не на их продолжения. Докажите, что тогда такую точку<i>O</i>можно выбрать для всех сторон одновременно. б) Докажите, что в случае выпуклого четырёхугольника такую точку<i>O</i>можно выбрать, если её можно выбрать для любых двух сторон.

а) На плоскости даны четыре выпуклые фигуры, причем любые три из них имеют общую точку. Докажите, что тогда и все они имеют общую точку. б) На плоскости дано <i>n</i>выпуклых фигур, причем любые три из них имеют общую точку. Докажите, что все <i>n</i>фигур имеют общую точку (<i>теорема Хелли</i>).

а) Пусть<i>M</i>— выпуклый многоугольник, площадь которого равна<i>S</i>, а периметр равен<i>P</i>;<i>D</i>— круг радиуса<i>R</i>. Докажите, что площадь фигуры$\lambda_{1}^{}$<i>M</i>+$\lambda_{2}^{}$<i>D</i>равна<div align="CENTER"> $\displaystyle \lambda_{1}^{2}$<i>S</i> + $\displaystyle \lambda_{1}^{}$$\displaystyle \lambda_{2}^{}$<i>PR</i> + $\displaystyle \lambda_{2}^{2}$$\displaystyle \pi$<i>R</i>². </div> б) Докажите, что<i>S</i>$\le$<i>P</i>²/4$\pi$.

Докажите, что<i>S</i>₁₂$\ge$$\sqrt{S_1S_2}$, т.е.$\sqrt{S(\lambda_1,\lambda_2)}$$\ge$$\lambda_{1}^{}$$\sqrt{S_1}$+$\lambda_{2}^{}$$\sqrt{S_2}$(Брунн).

Пусть<i>S</i>₁и<i>S</i>₂— площади многоугольников<i>M</i>₁и<i>M</i>₂. Докажите, что площадь<i>S</i>($\lambda_{1}^{}$,$\lambda_{2}^{}$) многоугольника$\lambda_{1}^{}$<i>M</i>₁+$\lambda_{2}^{}$<i>M</i>₂равна<div align="CENTER"> $\displaystyle \lambda_{1}^{2}$<i>S</i>₁ + 2$\displaystyle \lambda_{1}^{}$$\displaystyle \lambda_{2}^{}$<i>S</i>₁₂ + $\displaystyle \lambda_{2}^{2}$<i>S</i>₂, </div>где<i>S</i>₁₂зависит толь...

Докажите, что при симметризации по Штейнеру площадь многоугольника не изменяется, а его периметр не увеличивается.

Докажите, что симметризация по Штейнеру выпуклого многоугольника является выпуклым многоугольником.

Найдите кривую наименьшей длины, делящую равносторонний треугольник на две фигуры равной площади.

Несамопрересекающаяся ломаная расположена в данной полуплоскости, причём концы ломаной лежат на границе этой полуплоскости. Длина ломаной равна<i>L</i>, а площадь многоугольника, ограниченного ломаной и границей полуплоскости, равна<i>S</i>. Докажите, что<i>S</i>$\le$<i>L</i>²/2$\pi$.

Докажите, что если соответственные стороны выпуклых многоугольников<i>A</i>₁...<i>A</i>_nи<i>B</i>₁...<i>B</i>_nравны, причём многоугольник<i>B</i>₁...<i>B</i>_nвписанный, то его площадь не меньше площади многоугольника<i>A</i>₁...<i>A</i>_n.

Докажите, что площадь круга больше площади любой другой фигуры того же периметра. Другими словами, если площадь фигуры равна<i>S</i>, а её периметр равен<i>P</i>, то<i>S</i>$\le$<i>P</i>²/4$\pi$, причём равенство достигается только в случае круга (<i>изопериметрическое неравенство</i>).

а) Докажите, что среди всех выпуклых четырёхугольников с данными углами и данным периметром наибольшую площадь имеет описанный четырёхугольник. б) Докажите, что среди всех выпуклых<i>n</i>-угольников<i>A</i>₁...<i>A</i>_nс данными величинами углов<i>A</i>_iи данным периметром наибольшую площадь имеет описанный<i>n</i>-угольник.

Докажите, что если выпуклая фигура$\Phi$отлична от круга, то существует фигура$\Phi{^\prime}$, имеющая тот же периметр, что и$\Phi$, но большую площадь.

а) Докажите, что параллелограмм нельзя покрыть тремя меньшими гомотетичными ему параллелограммами. б) Докажите, что любой выпуклый многоугольник, кроме параллелограмма, можно покрыть тремя меньшими гомотетичными ему многоугольниками.

В окружность вписан выпуклый<i>n</i>-угольник<i>A</i>₁...<i>A</i>_n, причем среди его вершин нет диаметрально противоположных точек. Докажите, что если среди треугольников<i>A</i>_p<i>A</i>_q<i>A</i>_rесть хотя бы один остроугольный, то таких остроугольных треугольников не менее<i>n</i>- 2.

Точка <i>O</i>лежит внутри выпуклого<i>n</i>-угольника<i>A</i>₁...<i>A</i>_n. Докажите, что среди углов<i>A</i>_i<i>OA</i>_jне менее<i>n</i>- 1 не острых.

Дан выпуклый<i>n</i>-угольник, никакие две стороны которого не параллельны. Докажите, что различных треугольников, о которых идет речь в задаче <a href="https://mirolimp.ru/tasks/158119">22.8</a>, не менее<i>n</i>- 2.

Докажите, что в любом выпуклом многоугольнике, кроме параллелограмма, можно выбрать три стороны, при продолжении которых образуется треугольник, объемлющий данный многоугольник.

Выпуклый<i>n</i>-угольник разрезан на треугольники непересекающимися диагоналями. Рассмотрим преобразование такого разбиения, при котором треугольники<i>ABC</i>и<i>ACD</i>заменяются на треугольники<i>ABD</i>и<i>BCD</i>. Пусть<i>P</i>(<i>n</i>) — наименьшее число преобразований, за которое любое разбиение можно перевести в любое другое. Докажите, что: а)<i>P</i>(<i>n</i>)$\ge$<i>n</i>- 3; б)<i>P</i>(<i>n</i>)$\le$2<i>n</i>- 7; в)<i>P</i>(<i>n</i>)$\le$2<i>n</i>- 10 при<i>n</i>$\ge$13.

Докажите, что существует такое число <i>N</i>, что среди любых <i>N</i>точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, можно выбрать 100 точек, являющихся вершинами выпуклого многоугольника.